2023届高考数学一轮复习精选用卷 第五章 三角函数与解三角形 考点27 两角和与差的正弦、余弦和正切公式+答案解析

这是一份2023届高考数学一轮复习精选用卷 第五章 三角函数与解三角形 考点27 两角和与差的正弦、余弦和正切公式+答案解析，共14页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。
考点测试27　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值为5分、12分，中等难度考纲研读1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系一、基础小题1．已知α∈，sinα＝，则tan＝(　　)A. B．7C.－ D．－7答案　A解析　因为α∈，sinα＝，所以tanα＝－，所以tan＝＝.2．已知tanα＝，tan＝，则m＝(　　)A．－6或1   B．－1或6C．6   D．1答案　A解析　由题意，得tanα＝，tan＝＝，则＝，所以m＝－6或1，故选A.3.的值是(　　)A. B．C. D．答案　C解析　原式＝＝＝＝.4．已知tan＝－2，则tan＝(　　)A．－ B．C.－3 D．3答案　A解析　tan＝tan＝＝－，故选A.5．已知cos＋sinα＝，则sin＝(　　)A．－ B．C.－ D．答案　C解析　因为cos＋sinα＝，所以cosα＋sinα＋sinα＝，即cosα＋sinα＝，所以sin＝，所以sin＝－sin＝－.故选C.6．已知cos(α－β)＝，sinβ＝－，且α∈，β∈，则cosα＝(　　)A. B．C.－ D．－答案　B解析　∵∴0<α－β<π，cosβ＝.又cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝，∴cosα＝cos[(α－β)＋β]＝cos(α－β)cosβ－sin(α－β)·sinβ＝.7．(多选)已知0＜θ＜，若sin2θ＝m，cos2θ＝n，且m≠n，则下列选项中与tan恒相等的有(　　)A. B．C. D．答案　AD解析　tan＝＝＝＝＝或tan＝＝＝＝＝.故选AD.8．在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点，则cos＝________.答案　－1解析　解法一：由题意，得cosθ＝，sinθ＝，则sin2θ＝2sinθcosθ＝，cos2θ＝2cos2θ－1＝－，所以cos＝cos2θcos－sin2θsin＝－×－×＝－1.解法二：由题意，得tanθ＝，θ为第一象限角，所以θ＝2kπ＋(k∈Z)，所以2θ＝4kπ＋(k∈Z)，则cos＝cos(4kπ＋π)＝－1.二、高考小题9．(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sin＋cos的最小正周期和最大值分别是(　　)A．3π和 B．3π和2C．6π和 D．6π和2答案　C解析　由f(x)＝sin＋cos可得f(x)＝sin，故函数f(x)的最小正周期为T＝＝＝6π，最大值为.故选C.10．(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，－sinβ)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则(　　)A．||＝||B．||＝||C.·＝·D.·＝·答案　AC解析　对于A，因为||＝＝1，||＝ ＝1，所以A正确；对于B，因为||＝＝，||＝＝，所以B错误；对于C，因为·＝(1,0)·(cos(α＋β)，sin(α＋β))＝cos(α＋β)，·＝cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)，所以·＝·，所以C正确；对于D，因为·＝(1,0)·(cosα，sinα)＝cosα，·＝(cosβ，－sinβ)·(cos(α＋β)，sin(α＋β))＝cosβcos(α＋β)－sinβsin(α＋β)＝cos(2β＋α)，所以D错误．故选AC.11．(2020·全国Ⅲ卷)已知2tanθ－tan＝7，则tanθ＝(　　)A．－2 B．－1C.1 D．2答案　D解析　∵2tanθ－tan＝7，∴2tanθ－＝7.令t＝tanθ，t≠1，则2t－＝7，整理得t2－4t＋4＝0，解得t＝2，即tanθ＝2.故选D.12．(2019·江苏高考)已知＝－，则sin的值是________．答案　解析　解法一：由＝＝＝－，解得tanα＝2或－.∵sin＝(sin2α＋cos2α)＝(2sinαcosα＋2cos2α－1)＝(sinαcosα＋cos2α)－＝·－＝·－，将tanα＝2和－分别代入，得sin＝.解法二：∵＝＝－，∴sinαcos＝－cosαsin.①又sin＝sin＝sincosα－cossinα＝，②由①②，解得sinαcos＝－，cosαsin＝.∴sin＝sin＝sinαcos＋cosαsin＝.13．(2018·全国Ⅱ卷)已知tan＝，则tanα＝________.答案　解析　tan＝＝＝，解得tanα＝.三、模拟小题14．(2021·四川德阳市高三二模)在平面直角坐标系中，已知点A(2cos80°，2sin80°)，B(2cos20°，2sin20°)，那么|AB|＝(　　)A．2 B．2C.2 D．4答案　A解析　|AB|＝＝＝＝＝＝2.故选A.15．(2022·高唐县第一中学月考)已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ的值为(　　)A. B．－C.－ D．答案　B解析　由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，联立方程组，可得cosαcosβ＝，sinαsinβ＝－，故tanαtanβ＝＝－.16．(2021·广东惠州月考)在△ABC中，sinA＝，cosB＝－，则cosC的值为(　　)A. B．C. D．答案　C解析　∵cosB＝－<0，∴B为钝角，从而A为锐角，∴cosA＝＝，sinB＝＝，cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝－×＋×＝.故选C.17．(多选)(2021·福建省南安市侨光中学月考)在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝，下列各式正确的是(　　)A．A＋B＝2C   B．tan(A＋B)＝－C．tanA＝tanB   D．cosB＝sinA答案　CD解析　∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2(A＋B)＝C，∴tan(A＋B)＝，∴A，B错误；∵tanA＋tanB＝(1－tanAtanB)＝，∴tanAtanB＝.①又tanA＋tanB＝，②∴联立①②解得tanA＝tanB＝，∴cosB＝sinA，故C，D正确．18．(多选)(2021·湖南省长沙市长郡中学高三月考)已知0＜α＜β＜，且tanα，tanβ是方程x2－kx＋2＝0的两个不等实根．则下列结论正确的是(　　)A．tanα＋tanβ＝－k   B．tan(α＋β)＝－kC．k＞2 D．k＋tanα≥4答案　BCD解析　∵0＜α＜β＜，且tanα，tanβ是方程x2－kx＋2＝0的两个不等实根，∴tanα＋tanβ＝k＞0，tanαtanβ＝2，tan(α＋β)＝＝＝－k，∴k＞2＝2，k＋tanα＝2tanα＋tanβ≥2＝4，当且仅当2tanα＝tanβ时，等号成立．故选BCD.19．(2021·浙江嘉兴高中月考)已知α∈，β－α∈，sinα＝，cos(β－α)＝，则sin(β－α)＝________，sinβ＝________.答案　　解析　因为β－α∈，cos(β－α)＝，所以sin(β－α)＝ ＝.同理可得cosα＝，所以sinβ＝sin(β－α＋α)＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝.20. (2021·江苏镇江三模)《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年．其中有这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意为：今有直角三角形ABC，勾(短直角边)BC长5步，股(长直角边)AB长12步，问该直角三角形能容纳的正方形DEBF的最大边长为多少？在如图所示图形中，求得正方形DEBF的边长后，可求得tan∠ACE＝________.答案　解析　设正方形DEBF的边长为a，由题知，△AED∽△ABC，所以＝，即＝，解得a＝.所以tan∠ECB＝＝，tan∠ACB＝，故tan∠ACE＝tan(∠ACB－∠ECB)＝＝.一、高考大题1．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解　(1)因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，所以cos2α＝2cos2α－1＝－.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝ ＝，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝，所以tan2α＝＝－.因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.二、模拟大题2．(2021·福建厦门模拟)已知A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，其中α，β为锐角，且|AB|＝.(1)求cos(α－β)的值；(2)若cosα＝，求cosβ的值．解　(1)由|AB|＝，得 ＝，∴2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝，∴cos(α－β)＝.(2)∵cosα＝，cos(α－β)＝，α，β为锐角，∴sinα＝，sin(α－β)＝±.当sin(α－β)＝－时，cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝0.当sin(α－β)＝时，cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝.∵β为锐角，∴cosβ＝.3．(2021·北京北大附中高三上学期10月份段考)已知函数f(x)＝4coscosx－.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在[0，π]上的单调递增区间．解　(1)f(x)＝4coscosx－＝4cosx－＝2cos2x＋2sinxcosx－＝cos2x＋sin2x＝2sin，∴f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)令2x＋∈，k∈Z，则x∈，k∈Z，取k＝0，则x∈；取k＝1，则x∈.∵x∈[0，π]，∴x∈∪，∴f(x)在[0，π]上的单调递增区间为和.4．(2021·湖南郴州高三开学考试)已知α，β∈，且sin(α＋2β)＝sinα.(1)求证：tan(α＋β)＝6tanβ；(2)若tanα＝3tanβ，求α的值．解　(1)证明：由sin(α＋2β)＝sinα，得sin[(α＋β)＋β]＝sin[(α＋β)－β]，整理，得6cos(α＋β)sinβ＝sin(α＋β)cosβ.又α，β∈，所以tan(α＋β)＝6tanβ.(2)由(1)，知＝6tanβ，又tanα＝3tanβ，所以＝2tanα.又α∈，所以tanα＝1，所以α＝.5．(2021·云南曲靖模拟)已知函数f(x)＝cos(x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．(1)求a，θ的值；(2)若α∈，f＋cos·cos2α＝0，求cosα－sinα的值．解　(1)因为f(x)＝cos(x＋θ)是奇函数，所以cos(x＋θ)＝－cos(－x＋θ)，化简整理，得·2cosxcosθ＝0，则有cosθ＝0，由θ∈(0，π)，得θ＝，所以f(x)＝－sinx.由f＝0，得－(a＋1)＝0，即a＝－1.(2)由(1)知f(x)＝－sin2x，f＋coscos2α＝0⇒sin＝coscos2α，因为cos2α＝sin＝sin＝2sincos，所以sin＝cos2sin.又α∈，所以α＋∈，所以sin＝0或cos2＝.由sin＝0⇒α＝，所以cosα－sinα＝cos－sin＝－；由cos2＝，<α＋<，得cos＝－⇒(cosα－sinα)＝－⇒cosα－sinα＝－.综上，cosα－sinα＝－或－.