2023届高考数学一轮复习精选用卷 第五章 三角函数与解三角形 考点30 解三角形的应用+答案解析

这是一份2023届高考数学一轮复习精选用卷 第五章 三角函数与解三角形 考点30 解三角形的应用+答案解析，共18页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。
考点测试30　解三角形的应用

高考
概览
本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分、12分，中等难度
考纲
研读
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题

一、基础小题
1．在△ABC中，AB＝1，AC＝3，·＝－1，则△ABC的面积为(　　)
A. B．1
C. D．
答案　C
解析　AB＝1，AC＝3，·＝||||·cosA＝－1，∴cosA＝－，故sinA＝，S＝AB·ACsinA＝，故选C.
2. 如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于(　　)

A．100米 B．50 米
C．50(＋1) 米 D．50 米
答案　C
解析　设AB＝h，△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝h，△ADB中，tan∠ADB＝＝，解得h＝50(＋1)米．故选C.
3．若两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)
A．a km B．a km
C．2a km D．a km
答案　D
解析　如图所示，依题意知∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，AC＝BC＝a km，在△ABC中，由余弦定理，得AB＝＝a(km)，即灯塔A与灯塔B的距离为a km.故选D.

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC－2ccosB＝a，且B＝2C，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
答案　B
解析　∵2bcosC－2ccosB＝a，∴2sinBcosC－2sinCcosB＝sinA＝sin(B＋C)，即sinBcosC＝3cosBsinC，∴tanB＝3tanC，又B＝2C，∴＝3tanC，解得tanC＝.∵C∈(0，π)，∴C＝，B＝2C＝，A＝，故△ABC为直角三角形．
5．泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为30°，则“泉标”的高度为(　　)
A．50 m B．100 m
C.120 m D．150 m
答案　A
解析　如图，CD为“泉标”高度，设高为h米．由题意，CD⊥平面ABD，AB＝100米，∠BAD＝60°，∠CAD＝45°，∠CBD＝30°.在△CBD中，BD＝h，在△CAD中，AD＝h，在△ABD中，BD＝h，AD＝h，AB＝100，∠BAD＝60°，由余弦定理可得3h2＝10000＋h2－2×100hcos60°，∴(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50或h＝－100(舍去)，故选A.

6. 某小区打算对如图的一直角三角形ABC区域进行改建，在三边上各选一点连成等边三角形DEF，在其内建造文化景观．已知AB＝20 m，AC＝10 m，则△DEF的面积(单位：m2)的最小值为(　　)

A．25 B．
C. D．
答案　D
解析　因为△ABC是直角三角形，由AB＝20，AC＝10，可得CB＝10，因为△DEF是等边三角形，设∠CED＝θ，DE＝x，那么∠BFE＝30°＋θ，CE＝xcosθ，在△BFE中，由正弦定理可得＝，可得x＝＝＝，其中tanα＝.所以x≥.则△DEF的面积S＝x2×sin60°≥.故选D.
7. (多选)如图，△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边分别是a，b，c，∠ABC为钝角，BD⊥AB，cos2∠ABC＝－，c＝2，b＝，则下列结论正确的有(　　)

A．sinA＝ B．BD＝2
C．5＝3 D．△CBD的面积为
答案　AC
解析　由cos2∠ABC＝－，得2cos2∠ABC－1＝－，又∠ABC为钝角，解得cos∠ABC＝－，在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos∠ABC，得＝a2＋4－4a×，解得a＝2，可知△ABC为等腰三角形，即A＝C，所以cos∠ABC＝－cos2A＝－(1－2sin2A)＝－，解得sinA＝，故A正确；可得cosA＝＝，在Rt△ABD中，＝cosA，得AD＝，可得BD＝＝＝1，故B错误；CD＝b－AD＝－＝，可得＝＝，可得5＝3，故C正确；△CBD的面积S△CBD＝a·CDsinC＝×2××＝，故D错误．故选AC.
8. 如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为________．

答案　45°
解析　依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m，又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，
由余弦定理可得cosC＝
＝＝