2023届高考数学一轮复习精选用卷 第七章 平面解析几何 考点38 直线的倾斜角与斜率、直线的方程+答案解析

这是一份2023届高考数学一轮复习精选用卷 第七章 平面解析几何 考点38 直线的倾斜角与斜率、直线的方程+答案解析，共12页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。

第七章　平面解析几何

考点测试38　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

高考
概览
高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中、低等难度
考纲
研读
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式
2．能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直
3．掌握确定直线位置的几何要素
4．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系

一、基础小题
1．直线xsin＋ycos＝0的倾斜角α是(　　)
A．－ B．
C. D．
答案　D
解析　∵tanα＝－＝－tan＝tan，α∈[0，π)，∴α＝.
2．已知直线l过点(0,3)且与直线x＋y－1＝0垂直，则直线l的方程是(　　)
A．x＋y－3＝0 B．x－y＋3＝0
C．x＋y－2＝0 D．x－y－2＝0
答案　B
解析　因为直线l与直线x＋y－1＝0垂直，所以kl＝1，所以直线l的方程为y＝x＋3，即x－y＋3＝0.故选B.
3．已知直线l经过两点O(0,0)，A(1，)，直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍，则直线m的斜率是(　　)
A．－ B．－
C. D．
答案　A
解析　依题意kOA＝＝，所以直线l的倾斜角为，所以直线m的倾斜角为，所以直线m的斜率为tan＝－.故选A.
4．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0的图象有可能是(　　)

答案　B
解析　当a≠0，b≠0时，两直线在x轴上的截距符号相同．故选B.
5．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足(　　)
A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0
答案　A
解析　由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将直线方程变形为y＝－x－.易知－<0且－>0，故ab>0，bc<0.
6．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，则该点处切线的倾斜角α的取值范围是(　　)
A.∪ B．
C.∪ D．
答案　C
解析　因为y′＝3x2－≥－，即切线斜率k≥－，所以切线的倾斜角α的取值范围是∪.
7．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　)
A．[－2,2]
B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2,0)∪(0,2]
D．(－∞，＋∞)
答案　C
解析　令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形的面积为|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．
8．(多选)已知直线l过点P(2,4)，在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程可能为(　　)
A．x－y＋2＝0 B．x＋y－6＝0
C．x＝2 D．2x－y＝0
答案　BD
解析　当直线过原点时，斜率等于＝2，故直线的方程为y＝2x，即2x－y＝0.当直线不过原点时，设直线的方程为x＋y＋m＝0，把P(2,4)代入直线的方程得m＝－6，故求得的直线方程为x＋y－6＝0.综上，满足条件的直线方程为x＋y－6＝0或2x－y＝0.故选BD.
9．(多选)已知直线l过点P(1,2)，且A(2,3)，B(4，－5)到l的距离相等，则直线l的方程是(　　)
A．4x＋y－6＝0 B．x＋4y－6＝0
C．3x＋2y－7＝0 D．2x＋3y－7＝0
答案　AC
解析　由已知条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，当直线l∥AB时，因为AB的斜率为＝－4，所以直线l的方程是y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；当直线l经过线段AB的中点(3，－1)时，直线l的方程是＝，即3x＋2y－7＝0，所以所求直线l的方程为3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0.故选AC.
10．已知两点A(3,2)，B(8,12)，则直线AB的一般式方程为________．
答案　2x－y－4＝0
解析　∵A(3,2)，B(8,12)，∴过A，B的直线方程为＝，整理，得2x－y－4＝0.
11．过点A(2,1)，B(m,3)的直线的倾斜角α的范围是，则实数m的取值范围是________．
答案　(0,4)
解析　当m＝2时，直线的倾斜角为，满足题意；当m≠2时，直线AB的斜率为，所以>tan＝1或0或<0，解得2 12．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________，四边形面积的最小值是________．
答案　　
解析　直线l1可写成a(x－2)＝2(y－2)，直线l2可写成2(x－2)＝a2(2－y)，所以直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋.当a＝时，四边形的面积最小，最小值为.
二、高考小题
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
三、模拟小题
13．(2021·安徽六安二中期末)已知直线l的倾斜角为α，若cosα＝－，则直线l的斜率为(　　)
A. B．
C．－ D．－
答案　C
解析　∵0≤α<π，cosα＝－，∴sinα＝，tanα＝－.故选C.
14．(2022·湖北宜昌高三阶段考试)已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2,1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线的方程是(　　)
A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y＋1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．x＋2y＋1＝0
答案　B
解析　把A(2,1)坐标代入两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0，得2a1＋b1＋1＝0，2a2＋b2＋1＝0，∴2(a1－a2)＝b2－b1，过点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程是＝，∴y－b1＝－2(x－a1)，则2x＋y－(2a1＋b1)＝0，∵2a1＋b1＋1＝0，∴2a1＋b1＝－1，∴所求直线的方程为2x＋y＋1＝0.故选B.
15．(2021·温州模拟)已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线的方程是(　　)
A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
答案　D
解析　直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点为M(2,0)．设直线l的倾斜角为α，则tanα＝2，则tan(α＋45°)＝＝＝－3，故得到的直线的方程是y－0＝－3(x－2)，可化为3x＋y－6＝0.故选D.
16．(2021·广东惠州质检)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k的取值范围是(　　)
A．－1＜k＜ B．－1＜k＜
C．k＞或k＜－1 D．k＜－1或k＞
答案　D
解析　设直线l的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线l在x轴上的截距为1－.令－3＜1－＜3，解不等式得k＜－1或k＞.
17．(多选)(2021·江苏省江阴高级中学期中)下列说法正确的是(　　)
A．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3,2)
B．直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2
C．直线x＋y＋1＝0的倾斜角为60°
D．过点(－1,2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线的方程为2x＋y＝0
答案　ABD
解析　y＝ax－3a＋2(a∈R)可化为y－2＝a(x－3)，则直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过点(3,2)，故A正确；令x＝0，则y＝－2，即直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2，故B正确；x＋y＋1＝0可化为y＝－x－1，则该直线的斜率为－，即倾斜角为120°，故C错误；设过点(－1,2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为2x＋y＋m＝0，将点(－1,2)代入，得－2＋2＋m＝0，解得m＝0，则过点(－1,2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线的方程为2x＋y＝0，故D正确．故选ABD.
18．(多选)(2021·河北省张家口市月考)已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，下列说法正确的是(　　)
A．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直
B．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0
C．直线l过定点(0,1)
D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
答案　AC
解析　对于A，当a＝－1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，显然与x＋y＝0垂直，所以正确；对于B，若直线l与直线x－y＝0平行，可知(a2＋a＋1)×(－1)＝1×(－1)，解得a＝0或a＝－1，所以不正确；对于C，当x＝0时，有y＝1，所以直线l过定点(0,1)，所以正确；对于D，当a＝0时，直线l的方程为x－y＋1＝0，在x轴、y轴上的截距分别是－1,1，所以不正确．故选AC.
19．(2021·新高考八省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________.
答案　　－3
解析　如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系.

设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故kOA＝tan(θ－45°)＝＝＝，kOC＝tan(θ＋45°)＝＝＝－3.
20．(2022·广西南宁高三摸底考试)设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的最小值是________，最大值是________．
答案　－2　2
解析　b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．故b的最小值为－2，最大值为2.

21．(2021·银川模拟)直线l的倾斜角是直线4x＋3y－1＝0的倾斜角的一半，若l不过坐标原点，则l在x轴与y轴上的截距之比为________．
答案　－
解析　设直线l的倾斜角为θ.所以tan2θ＝－.＝－，所以tanθ＝2或tanθ＝－，
由2θ∈[0，π)知，θ∈.所以tanθ＝2.设l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，所以tanθ＝－，即＝－＝－.
22．(2022·湖南株洲高三模拟)已知A(－1,0)，B(0，2)，直线l：2x－2ay＋3＋a＝0上存在点P，满足|PA|＋|PB|＝，则l的倾斜角的取值范围是________________．
答案　∪
解析　直线l：2x－2ay＋3＋a＝0可化为a(－2y＋1)＋2x＋3＝0，

则直线l必过定点Q.又|AB|＝，|PA|＋|PB|＝，∴点P在线段AB上，∴直线l与线段AB必有一个交点P.∵kQA＝＝－1，kQB＝＝1，∴直线QA，OB的倾斜角分别为，.又直线l不能表示斜率为0的直线，∴如图所示，直线l位于QA与QB之间，∴直线l的倾斜角的取值范围是∪.

一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
二、模拟大题
1．(2021·内蒙古赤峰二中模拟)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(2,4)，C(5，－1)．
(1)求边AB上的中线所在直线的一般式方程；
(2)求边AB上的高所在直线的一般式方程．
解　(1)∵A(－2，－4)，B(2,4)，
∴AB的中点为O(0,0)，
∴边AB上的中线CO的斜率为k＝－，
∴边AB上的中线所在直线的一般式方程为x＋5y＝0.
(2)∵A(－2，－4)，B(2,4)
∴kAB＝＝2，
故边AB上的高所在直线的斜率为k＝－，
由点斜式得，边AB上的高所在直线方程为y＋1＝－(x－5)，
∴边AB上的高所在直线的一般式方程为x＋2y－3＝0.
2．(2021·山东菏泽三中模拟)已知直线y＝－x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程．
(1)过点P(3，－4)；
(2)在x轴上的截距为－2；
(3)在y轴上的截距为3.
解　设直线y＝－x＋5的倾斜角为α，
则斜率k＝tanα＝－，∴α＝150°，
故所求直线l的倾斜角为30°，斜率k′＝.
(1)过点P(3，－4)，由点斜式方程得
y＋4＝(x－3)，
∴y＝x－－4.
(2)在x轴上的截距为－2，
即直线l过点(－2,0)，
由点斜式方程得y－0＝(x＋2)，
∴y＝x＋.
(3)在y轴上的截距为3，由斜截式方程得y＝x＋3.
3. (2022·安徽亳州模拟)如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．

解　由题意可得kOA＝tan45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，直线lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点为C，
由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线，
得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
4．(2022·云南丽江质检)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l恒过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
解　(1)证明：直线l的方程可化为
k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
所以无论k取何值，直线l恒过定点(－2,1)．
(2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k＞0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意．
综上所述，k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)由题意可知k≠0，再由l的方程，得
A，B(0,1＋2k)．
依题意得解得k＞0.
由S＝|OA|·|OB|＝·|1＋2k|
＝·＝
≥×(2×2＋4)＝4，当且仅当k>0且4k＝，即k＝时，“＝”成立．
所以Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.