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湘教版（2019）选择性必修 第一册1.3 等比数列教学ppt课件
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这是一份湘教版（2019）选择性必修 第一册1.3 等比数列教学ppt课件，文件包含131等比数列及其通项公式pptx、131等比数列及其通项公式DOCX等2份课件配套教学资源，其中PPT共50页， 欢迎下载使用。
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等比数列的通项公式和等比中项及其应用.3.熟练掌握等比数列的判定方法.4.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
在根据实例抽象出等比数列的概念并归纳出等比数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模素养.
课前预习教材必备知识探究
课堂研析题型关键能力提升
课后分层精练核心素养达成
ＫＥＱＩＡＮＹＵＸＩＪＩＡＯＣＡＩ ＢＩＢＥＩＺＨＩＳＨＩＴＡＮＪＩＵ
课前预习教材 必备知识探究
1.等比数列的概念(1)文字定义：如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项之比都等于____________，那么这个数列称为等比数列，这个______叫作等比数列的公比.公比通常用字母q表示(q≠0).
温馨提醒 (1)等比数列定义中“同一个常数”的“同一个”非常重要，切记不可丢掉；(2)公比q可正，可负，但不能为0，它是一个与n无关的非零常数.
2.等比数列的通项公式若等比数列{an}的首项为a1(a1≠0)，公比为q(q≠0)，则{an}的通项公式为an＝_________.
3.等比中项与等差中项的异同，对比如下表
1.思考辨析，判断正误(1)等比数列的公比可以为任意实数.( )提示 公比不可以为0.(2)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.( )提示 应为同一个常数.(3)常数列既是等差数列又是等比数列.( )提示 0数列除外.(4)任何两个数都有等比中项.( )提示 当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项.
2.(多选)下列说法正确的有( )A.等比数列中的项不能为0B.等比数列的公比的取值范围是RC.若一个常数列是等比数列，则公比为1D.22，42，62，82，…成等比数列
3.在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于( )A.16 B.16或－16C.32 D.32或－32
4.45和80的等比中项为___________.解析 设45和80的等比中项为G，则G2＝45×80，∴G＝±60.
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解 设等比数列{an}的公比为q.
训练1 在等比数列{an}中，(1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n；(2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式.解 (1)∵an＝a1·qn－1＝128，a1＝4，q＝2，∴4·2n－1＝128，∴2n－1＝32，∴n－1＝5，n＝6.
(3)a3＝a1·q2，即8＝2q2，∴q2＝4，∴q＝±2.当q＝2时，an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n，当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2·(－2)n－1＝(－1)n－12n，∴数列{an}的公比q为2或－2，对应的通项公式为an＝2n或an＝(－1)n－12n.
例2 已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否为等比数列.解 an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2).
故当a＝－1时，数列{an}是等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列.
训练2 已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.证明：数列{an＋4}是等比数列.证明 ∵a1＝－2，∴a1＋4＝2.∵an＋1＝2an＋4，∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)，
∴{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列.
例3 (1)在等比数列{an}中，a1＝－16，a4＝8，则a7等于( )A.－4 B.±4 C.－2 D.±2
解析 (1)因为a4是a1与a7的等比中项，所以a＝a1a7，即64＝－16a7, 故a7＝－4.
(2)在等差数列{an}中，a3＝0.如果ak是a6与ak＋6的等比中项，那么k＝________.解析 等差数列{an}的公差为d，由题意得a3＝a1＋2d＝0，∴a1＝－2d.又∵ak是a6与ak＋6的等比中项，
[(k－3)d]2＝3d·(k＋3)d，解得k＝9或k＝0(舍去).
训练3 如果 －1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝________，ac＝________.
解析 因为b是－1，－9的等比中项，所以b2＝9，b＝±3.又等比数列中奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，即ac＝9.
例4 从盛满a L(a>1)纯酒精的容器中倒出1 L，然后加满水，再倒出1 L混合溶液后又用水加满，如此继续下去…，第n次操作后酒精的浓度是多少？若a＝2，则至少倒几次后才能使酒精浓度低于10%?解 第一次倒出纯酒精1 L，
即至少倒4次后酒精的浓度低于10%.
训练4 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.(1)用一个式子表示n(n∈N＋)年后这辆车的价值；
解 从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.∴n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元.
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？解 由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元.
2.等比中项的理解(1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项.(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.(3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三数是否成等比数列.3.注意等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同.
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2.有下列四个说法：①等比数列中的某一项可以为0；②等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞)；③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；④若b2＝ac，则a，b，c成等比数列.其中正确说法的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3解析 等比数列中公比不能取0，且各项均不可为0，所以只有③正确.
3.在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3＝( )
4.在等比数列{an}中，an＞0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为( )A.16 B.27 C.36 D.81解析 由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍去)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
5.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )A.4 B.8 C.6 D.32解析 设a1＝4，an＝128，q＝2，则an＝a1qn－1，即128＝4×2n－1＝2n＋1，故n＋1＝7，得n＝6.
6.在等比数列{an}中，若a3＝3，a10＝384，则公比q＝________.解析 a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，两式相除得，q7＝128，所以q＝2.
7.在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为____________________.
80，40，20，10
∴这4个数依次为80，40，20，10.
解析 设正项等比数列{an}的公比q＞0，
即a1q2＝3a1＋2a1q，∴q2－2q－3＝0，q＞0，解得q＝3.
9.数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…).(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式.解 (1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
又a1－1＝－2，∴数列{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列.(2)由(1)知an－n＝－2·3n－1，∴an＝n－2·3n－1(n∈N＋).
10.某城市2015年年底人口为100万人，人均住房面积为5米2.该城市拟自2016年年初开始每年新建住房245万米2，到2023年年底时，人均住房面积为24米2，则该城市的人口年平均增长率约是多少？(精确到0.001，参考公式(1＋x)8≈1＋8x，其中0
11.在各项均为正数的等比数列{an}中， 若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是( )
解析 设等比数列{an}的公比为q(q>0)，因为a2＝1，a8＝a6＋2a4，
又an>0，所以q4－q2－2＝0，解得q2＝2(负值舍去)，
12.若等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2，则an＝________；若{bn}是等比数列，且b2＝a3，b3＝a7，b6＝ak，则k＝________.解析 由a4－a3＝2知等差数列{an}的公差d＝2，又a1＋a2＝2a1＋d＝10，故a1＝4，则an＝2n＋2，所以b2＝8，b3＝16，得等比数列{bn}的公比q＝2，b1＝4.又b6＝ak，故2k＋2＝4×26－1，解得k＝63.
即2x2－2x＋3＝0.此时Δ＝(－2)2－4×2×3＜0，
14.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则a53的值为( )
又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等比数列的通项公式和等比中项及其应用.3.熟练掌握等比数列的判定方法.4.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
在根据实例抽象出等比数列的概念并归纳出等比数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模素养.
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1.等比数列的概念(1)文字定义：如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项之比都等于____________，那么这个数列称为等比数列，这个______叫作等比数列的公比.公比通常用字母q表示(q≠0).
温馨提醒 (1)等比数列定义中“同一个常数”的“同一个”非常重要，切记不可丢掉；(2)公比q可正，可负，但不能为0，它是一个与n无关的非零常数.
2.等比数列的通项公式若等比数列{an}的首项为a1(a1≠0)，公比为q(q≠0)，则{an}的通项公式为an＝_________.
3.等比中项与等差中项的异同，对比如下表
1.思考辨析，判断正误(1)等比数列的公比可以为任意实数.( )提示 公比不可以为0.(2)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.( )提示 应为同一个常数.(3)常数列既是等差数列又是等比数列.( )提示 0数列除外.(4)任何两个数都有等比中项.( )提示 当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项.
2.(多选)下列说法正确的有( )A.等比数列中的项不能为0B.等比数列的公比的取值范围是RC.若一个常数列是等比数列，则公比为1D.22，42，62，82，…成等比数列
3.在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，则a3等于( )A.16 B.16或－16C.32 D.32或－32
4.45和80的等比中项为___________.解析 设45和80的等比中项为G，则G2＝45×80，∴G＝±60.
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解 设等比数列{an}的公比为q.
训练1 在等比数列{an}中，(1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n；(2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式.解 (1)∵an＝a1·qn－1＝128，a1＝4，q＝2，∴4·2n－1＝128，∴2n－1＝32，∴n－1＝5，n＝6.
(3)a3＝a1·q2，即8＝2q2，∴q2＝4，∴q＝±2.当q＝2时，an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n，当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2·(－2)n－1＝(－1)n－12n，∴数列{an}的公比q为2或－2，对应的通项公式为an＝2n或an＝(－1)n－12n.
例2 已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否为等比数列.解 an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2).
故当a＝－1时，数列{an}是等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列.
训练2 已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.证明：数列{an＋4}是等比数列.证明 ∵a1＝－2，∴a1＋4＝2.∵an＋1＝2an＋4，∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)，
∴{an＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列.
例3 (1)在等比数列{an}中，a1＝－16，a4＝8，则a7等于( )A.－4 B.±4 C.－2 D.±2
解析 (1)因为a4是a1与a7的等比中项，所以a＝a1a7，即64＝－16a7, 故a7＝－4.
(2)在等差数列{an}中，a3＝0.如果ak是a6与ak＋6的等比中项，那么k＝________.解析 等差数列{an}的公差为d，由题意得a3＝a1＋2d＝0，∴a1＝－2d.又∵ak是a6与ak＋6的等比中项，
[(k－3)d]2＝3d·(k＋3)d，解得k＝9或k＝0(舍去).
训练3 如果 －1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝________，ac＝________.
解析 因为b是－1，－9的等比中项，所以b2＝9，b＝±3.又等比数列中奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，即ac＝9.
例4 从盛满a L(a>1)纯酒精的容器中倒出1 L，然后加满水，再倒出1 L混合溶液后又用水加满，如此继续下去…，第n次操作后酒精的浓度是多少？若a＝2，则至少倒几次后才能使酒精浓度低于10%?解 第一次倒出纯酒精1 L，
即至少倒4次后酒精的浓度低于10%.
训练4 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.(1)用一个式子表示n(n∈N＋)年后这辆车的价值；
解 从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.∴n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元.
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？解 由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元.
2.等比中项的理解(1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项.(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.(3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三数是否成等比数列.3.注意等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同.
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2.有下列四个说法：①等比数列中的某一项可以为0；②等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞)；③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；④若b2＝ac，则a，b，c成等比数列.其中正确说法的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3解析 等比数列中公比不能取0，且各项均不可为0，所以只有③正确.
3.在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3＝( )
4.在等比数列{an}中，an＞0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为( )A.16 B.27 C.36 D.81解析 由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍去)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
5.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )A.4 B.8 C.6 D.32解析 设a1＝4，an＝128，q＝2，则an＝a1qn－1，即128＝4×2n－1＝2n＋1，故n＋1＝7，得n＝6.
6.在等比数列{an}中，若a3＝3，a10＝384，则公比q＝________.解析 a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，两式相除得，q7＝128，所以q＝2.
7.在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为____________________.
80，40，20，10
∴这4个数依次为80，40，20，10.
解析 设正项等比数列{an}的公比q＞0，
即a1q2＝3a1＋2a1q，∴q2－2q－3＝0，q＞0，解得q＝3.
9.数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…).(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式.解 (1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
又a1－1＝－2，∴数列{an－n}是以－2为首项，3为公比的等比数列.(2)由(1)知an－n＝－2·3n－1，∴an＝n－2·3n－1(n∈N＋).
10.某城市2015年年底人口为100万人，人均住房面积为5米2.该城市拟自2016年年初开始每年新建住房245万米2，到2023年年底时，人均住房面积为24米2，则该城市的人口年平均增长率约是多少？(精确到0.001，参考公式(1＋x)8≈1＋8x，其中0
11.在各项均为正数的等比数列{an}中， 若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是( )
解析 设等比数列{an}的公比为q(q>0)，因为a2＝1，a8＝a6＋2a4，
又an>0，所以q4－q2－2＝0，解得q2＝2(负值舍去)，
12.若等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2，则an＝________；若{bn}是等比数列，且b2＝a3，b3＝a7，b6＝ak，则k＝________.解析 由a4－a3＝2知等差数列{an}的公差d＝2，又a1＋a2＝2a1＋d＝10，故a1＝4，则an＝2n＋2，所以b2＝8，b3＝16，得等比数列{bn}的公比q＝2，b1＝4.又b6＝ak，故2k＋2＝4×26－1，解得k＝63.
即2x2－2x＋3＝0.此时Δ＝(－2)2－4×2×3＜0，
14.如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，j∈N＋)，则a53的值为( )
又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，
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