高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册1.3 等比数列课堂教学ppt课件

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第1章 数 列
1.3.2　等比数列与指数函数
课标要求
1.体会等比数列与指数函数的关系.2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.
素养要求
通过推导等比数列的性质及其应用，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等比数列的相关公式解决相关问题，发展学生的数学运算素养.
课前预习教材必备知识探究
内容索引
课堂研析题型关键能力提升
课后分层精练核心素养达成
ＫＥＱＩＡＮＹＵＸＩＪＩＡＯＣＡＩ ＢＩＢＥＩＺＨＩＳＨＩＴＡＮＪＩＵ
课前预习教材 必备知识探究
1
1.等比数列的函数特性对于等比数列{an}，an＝a1qn－1，当q<0时，数列{an}是摆动数列，当q>0时，情况如下:
递减
递增
递增
2.推广的等比数列的通项公式
若{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝_________＝___________ (m，n∈N＋).
a1qn－1
am·qn－m
3.常用等比数列的性质(1)如果m＋n＝k＋l(m，n，k，l∈N＋)，则有______________.
am·an＝ak·al
(3)若m，n，p(m，n，p∈N＋)成等差数列，则am，an，ap成等比数列.(4)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列.
1.思考辨析，判断正误(1)an＝amqn－m(n，m∈N＋，q≠0)，当m＝1时，就是an＝a1qn－1.( )(2)若{an}为等比数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N＋)，则am·an＝ap.( )
√
×
(3)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列.( )提示　反例：{an}为：1，－1，1，－1，…，{bn}为－1，1，－1，1，…，则{an＋bn}为：0，0，0，0，…，显然不是等比数列.(4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列.( )提示　反例：1，3，2，6，4，12，…显然满足条件，但不是等比数列.
×
×
CD
2.(多选)若数列{an}是等比数列，则下面四个数列中也一定是等比数列的有(　　)
解析　当c＝0时，{can}不是等比数列；当数列{an}的公比q＝－1时，an＋an＋1＝0，不是等比数列；由等比数列的定义，选项CD中的数列是等比数列.
C
3.在等比数列{an}中，a4＝6，a8＝18，则a12＝(　　) A.24 B.30 C.54 D.108
4.在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81，则公比q为________.解析　由a5＝a2q3，得q3＝27，所以q＝3.
3
ＫＥＴＡＮＧＹＡＮＸＩＴＩＸＩＮＧ ＧＵＡＮＪＩＡＮＮＥＮＧＬＩＴＩＳＨＥＮＧ
课堂研析题型 关键能力提升
2
例1 在等比数列{an}中. (1)已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an；
由2(an＋an＋2)＝5an＋1得，2an(1＋q2)＝5qan，
∵a1＝q，且{an}为递增数列，
∴an＝2·2n－1＝2n(n∈N＋).
训练1 已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于(　　) A.21 B.42 C.63 D.84解析　设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.
B
例2 已知{an}为正项等比数列.(1)若a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(2)若a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.
(2)根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.
解析　由a6·a12＝a4·a14＝6，且a4＋a14＝5，解得a4＝2，a14＝3或a4＝3，a14＝2，
A
例3 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________. 解析　设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3， 则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列.
45
因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45.
(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数.
所以a3＝216.所以a＝6.
故所求的四个数为9，6，4，2.
所以d＝－2.故所求得的四个数为9，6，4，2.
训练3 在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为(　　)
B
∴a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5.
课堂小结
ＫＥＨＯＵＦＥＮＣＥＮＧＪＩＮＧＬＩＡＮＨＥＸＩＮＳＵＹＡＮＧＤＡＣＨＥＮＧ
课后分层精练 核心素养达成
3
1.在等比数列{an}中，a2 022＝8a2 019，则公比q的值为(　　)A.2 B.3 C.4 D.8解析　∵a2 022＝8a2 019＝a2 019·q3，∴q3＝8，∴q＝2.
A
2.在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10＝(　　)A.6 B.2 C.2或6 D.－2解析　由题知a2＋a18＝－6，a2·a18＝4，所以a2<0，a18<0，故a10<0，
B
A
所以这3个数的积为abc＝4×2＝8.
4.在正项等比数列{an}中，a3·a5＝4，则a1·a2·a3·a4·a5·a6·a7等于(　　)A.64 B.128 C.256 D.512
B
D
6.已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________.
8
再由等差数列的性质知b5＋b9＝2b7＝8.
－2
8.三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数是____________________.
2，4，8或8，4，2
故这三个数所成的等比数列为8，4，2或2，4，8.
9.已知{an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11.解　因为{an}为等比数列，所以a1·a9＝a3·a7＝64，又a3＋a7＝20，所以a3，a7是方程t2－20t＋64＝0的两个根.所以a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4，当a3＝4时，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20，所以1＋q4＝5，所以q4＝4，所以a11＝a1q10＝a3q8＝64；当a3＝16时，a3＋a7＝a3(1＋q4)＝20，
所以a11＝a1q10＝a3q8＝1.综上a11＝64或1.
10.有三个数成等比数列，其积为27，其平方和为91，求这三个数.
由①得a＝3.
当q＝3时，此数列为1，3，9；当q＝－3时，此数列为－1，3，－9；
11.已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为(　　)
B
二、能力提升
解析　设等差数列为{an}，公差为d，d≠0.
12.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于(　　)
A
13.在等比数列{an}(n∈N＋)中，a1>1，公比q>0.设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0. (1)求证：数列{bn}是等差数列；
证明　因为bn＝log2an，
所以数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q.
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an.
解　因为b1＋b3＋b5＝6，所以(b1＋b5)＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6，即b3＝2.又因为a1>1，所以b1＝log2a1>0，又因为b1·b3·b5＝0，所以b5＝0，
即a1＝16，所以an＝25－n(n∈N＋).
三、创新拓展