数学选择性必修 第一册第1章 数列*1.4 数学归纳法课文ppt课件

这是一份数学选择性必修 第一册第1章 数列*1.4 数学归纳法课文ppt课件，文件包含14数学归纳法pptx、14数学归纳法DOCX等2份课件配套教学资源，其中PPT共47页， 欢迎下载使用。


第1章 数 列
*1.4　数学归纳法
课标要求
1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题.
素养要求
通过利用数学归纳法证明与自然数n有关的数学命题，发展学生的逻辑推理和数学运算素养.
课前预习教材必备知识探究
内容索引
课堂研析题型关键能力提升
课后分层精练核心素养达成
ＫＥＱＩＡＮＹＵＸＩＪＩＡＯＣＡＩＢＩＢＥＩＺＨＩＳＨＩＴＡＮＪＩＵ
课前预习教材 必备知识探究
1
1.数学归纳法的定义 在证明一个与正整数有关的命题时，可采用下面两个步骤： (1)证明_________________时命题成立； (2)假设____________________时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以知道对任何从______开始的正整数n，命题成立.这种证明方法叫作数学归纳法.
n＝n0(n0∈N＋)
n＝k(k∈N＋，k≥n0)
n0
2.数学归纳法中的两个步骤之间的关系 记P(n)是一个关于正整数n的命题.可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1)P(n0)为真；(2)若_______为真，则_________也为真，结论：P(n)为真. (1)第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题_______为真； (2)第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：________ ________________________. 只要将两步交替使用，就有P(n0)为真，P(n0＋1)真，……P(k)真，P(k＋1)真…….从而完成证明.
P(k)
P(k＋1)
P(n0)
若P(k)为真，则P(k＋1)也为真
×
1.思考辨析，判断正误 (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( ) 提示　也可用其他方法证明. (2)在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用归纳假设.( ) 提示　数学归纳法的两个步骤缺一不可. (3)用数学归纳法证明等式时，由n＝k到n＝k＋1，等式的项数不一定增加了一项.( )
×
√
C
解析　边数最少的凸n边形是三角形，故选C.
B
未用归纳假设
解析　本题在由n＝k成立证明n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符.
ＫＥＴＡＮＧＹＡＮＸＩＴＩＸＩＮＧ ＧＵＡＮＪＩＡＮＮＥＮＧＬＩＴＩＳＨＥＮＧ
课堂研析题型 关键能力提升
2
所以左边＝右边，等式成立.②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，
那么当n＝k＋1时，1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2
即当n＝k＋1时，等式也成立，综上，对任何n∈N＋，等式都成立.
训练1 用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N＋). 证明　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立. (2)假设当n＝k(k∈N＋)时，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3. 则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k ＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3， 即当n＝k＋1时，等式也成立. 由(1)(2)知，等式对任何n∈N＋都成立.
综上，原不等式成立.
即当n＝k＋1时，不等式成立.由(1)和(2)可知，不等式对所有的n∈N＋都成立.
例3 将正整数进行如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)……，分别计算各组包含的正整数的和如下：S1＝1，S2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，……(1)求S7的值；
解　S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175.
(2)由S1，S1＋S3，S1＋S3＋S5，S1＋S3＋S5＋S7的值，试猜测S1＋S3＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明.
解　S1＝1；S1＋S3＝16；S1＋S3＋S5＝81；S1＋S3＋S5＋S7＝256；猜测S1＋S3＋…＋S2n－1＝n4.证明如下：记Mn＝S1＋S3＋…＋S2n－1.①当n＝1时，猜想成立.②假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，猜想成立，即Mk＝S1＋S3＋…＋S2k－1＝k4.则当n＝k＋1时，
从而Mk＋1＝Mk＋S2k＋1＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，所以当n＝k＋1时猜想也成立.由①②，可知对任意n∈N＋，猜想都成立.
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明.
①当n＝1时，结论成立；
∴当n＝k＋1时结论成立.
课堂小结
1.掌握“归纳—猜想—证明”的思想方法2.利用数学归纳法的注意点(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.
ＫＥＨＯＵＦＥＮＣＥＮＧＪＩＮＧＬＩＡＮＨＥＸＩＮＳＵＹＡＮＧＤＡＣＨＥＮＧ
课后分层精练 核心素养达成
3
解析　因为题目要求是对n为正偶数，等式成立.
C
D
3.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)等于(　　) A.f(n)＋n＋1 B.f(n)＋n C.f(n)＋n－1 D.f(n)＋n－2 解析　增加一个顶点，就增加(n＋1－3)条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，对f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故选C.
C
4.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于(　　)
B
D
故选D.
7.用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N＋)时，初始值n0应等于________.
6
解析　由题意，当n＝1时，21<(1＋1)2；当n＝2时，22<(2＋1)2；当n＝3时，23<(3＋1)2；当n＝4时，24<(4＋1)2；当n＝5时，25<(5＋1)2；当n＝6时，26>(6＋1)2，所以用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N＋)时，初始值n0应等于6.
即n＝k＋1时等式成立.综合(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N＋等式恒成立.
则当n＝k＋1时，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立.综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立.
11.用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N＋)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开(　　)A.(k＋3)3 B.(k＋2)3C.(k＋1)3 D.(k＋1)3＋(k＋2)3
A
二、能力提升
解析　假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除.当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可.
12.(多选)已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N＋)，若当n＝1，2，…，1 000时，p(k)成立，且当n＝1 001时也成立，则下列判断中正确的是(　　)A.p(k)对k＝528成立B.p(k)对每一个自然数k都成立C.p(k)对每一个正偶数k都成立D.p(k)对某些偶数可能不成立
AD
解析　由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2 002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD.
(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.
下面用数学归纳法证明这个结论.①当n＝1时，结论成立.
三、创新拓展
(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论.
解　猜想：an＝n.证明：①当n＝1时，由(1)可知结论成立.②假设当n＝k(k∈N＋)时，结论成立，即ak＝k成立. 则当n＝k＋1时，
又an>0，∴ak＋1＝k＋1成立.由①②可知，结论对任意n∈N＋都成立.