高中数学2.7 用坐标方法解决几何问题课文内容ppt课件

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第2章 平面解析几何初步
2.7　用坐标方法解决几何问题
课标要求
1.理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题.2.进一步掌握用解析法处理平面几何问题.
素养要求
通过学生用坐标法解决几何问题，发展学生的直观想象、数学运算及逻辑推理素养.
课前预习教材必备知识探究
内容索引
课堂研析题型关键能力提升
课后分层精练核心素养达成
内容索引
内容索引
ＫＥＱＩＡＮＹＵＸＩＪＩＡＯＣＡＩＢＩＢＥＩＺＨＩＳＨＩＴＡＮＪＩＵ
课前预习教材 必备知识探究
1
1.坐标法在平面直角坐标系中，把点用坐标表示，将直线与圆等曲线用方程表示，通过研究方程来研究图形的性质，这种代数研究方法被称为坐标法.
2.用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立适当的平面直角坐标，用坐标和方程表示问题中的__________，将平面几何问题转化为__________；(2)通过代数运算，解决代数问题；(3)把代数运算结果“翻译”成几何结论并作答.温馨提醒　建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影响.因此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所需的几何元素的坐标或方程尽量简单.
几何元素
代数问题
1.思考辨析，判断正误(1)圆心到圆的切线的距离等于半径.( )(2)圆的弦的垂直平分线过圆心.( )(3)同一圆的两条弦的垂直平分线的交点为圆心.( )
√
√
√
B
2.若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是(　　)A.在圆上 B.在圆外C.在圆内 D.都有可能
B
3.过点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线，则A到切点的距离为(　　)
解析　因为点A(－1，4)，设切点为点B，连接圆心C(2，3)和点B得到CB⊥AB，圆的半径为1，
4.若等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边的一个端点是B(3，5)，则另一个端点C的轨迹方程为____________________________________.
(x－4)2＋(y－2)2＝10(x≠3且x≠5)
∴方程为(x－4)2＋(y－2)2＝10.又A，B，C不能共线，∴x≠3且x≠5，∴其轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝10(x≠3且x≠5).
ＫＥＴＡＮＧＹＡＮＸＩＴＩＸＩＮＧ ＧＵＡＮＪＩＡＮＮＥＮＧＬＩＴＩＳＨＥＮＧ
课堂研析题型 关键能力提升
2
例1 如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.
证明　以AB所在直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设|AB|＝2r，D(a，0)，
训练1 如图，直角△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值.
证明　如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，
于是有B(－m，0)，C(m，0)，P(－n，0)，Q(n，0).设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上，故|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值).
(－1，1)
y＝|PB|－|PA|.∵||PB|－|PA||<|AB|，且|AB|＝1，∴|y|<1，即－1训练2 例2中的(1)条件不变，求y－x的最大值和最小值.解　设y－x＝b，即y＝x＋b.当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，
角度1　直接法求轨迹方程
题型三　求动点的轨迹方程
化简，得x2＋y2＋2x－3＝0，即所求轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4.
角度2　代入法求轨迹方程
例4 已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程.
解　设点M(x，y)，点P(x0，y0)，
角度3　定义法求轨迹方程例5 已知直角△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程. 解　法一　设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3，且x≠－1.
所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).
法二　同法一，得x≠3，且x≠－1.由勾股定理，得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化简得x2＋y2－2x－3＝0.所以直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).法三　设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0).
由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1).
训练3 已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程. 解　以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则点A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0).
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵点C不能在x轴上，∴y≠0.综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点.轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).
课堂小结
1.利用数形结合思想求某些二元代数式的最值是直线和圆的方程的一个重要应用，它是利用代数式的几何意义转化为斜率、截距、距离等来求解.2.利用坐标法解决平面几何问题，将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题.适当建系时，通常取定直线为坐标轴，定点或线段的中点为原点，使其具有对称性，这样便于设坐标.
ＫＥＨＯＵＦＥＮＣＥＮＧＪＩＮＧＬＩＡＮＨＥＸＩＮＳＵＹＡＮＧＤＡＣＨＥＮＧ
课后分层精练 核心素养达成
3
D
2.已知△ABC的三个顶点是A(5，5)，B(1，4)和C(4，1)，则△ABC的形状是(　　)A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形
B
∴|AB|＝|AC|，∴△ABC为等腰三角形.
3.y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是(　　)
D
4.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，则圆C的圆心的轨迹是(　　)A.点 B.直线 C.线段 D.圆解析　∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，∴(a－1)2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是以(1，0)为圆心，1为半径的圆.故选D.
D
5.点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线PA，PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A，B两点，则四边形PAOB(O为坐标原点)的面积的最小值为(　　) A.24 B.16 C.8 D.4
C
6.设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是________________.
(x－1)2＋y2＝2
解析　设P(x，y)是轨迹上任一点，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1，0)，则|PA|2＋1＝|PB|2，∴(x－1)2＋y2＝2.
8.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为________.
解析　由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小，只需圆C的半径或直径最小，又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何知识，当OC所在直线与已知直线垂直时，圆C的直径最小，
9.△ABD和△BCE是边AB，BC在直线AC上且位于直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE|＝|CD|.
证明　如图，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建立直角坐标系.
所以|AE|＝|CD|.
10.已知x，y满足x2＋y2－2x＋4y＝0，求x－2y的最大值.解　设x－2y＝b，则点(x，y)既在直线x－2y＝b上，又在圆x2＋y2－2x＋4y＝0上，即直线x－2y＝b和圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5有公共点，
即|b－5|≤5，所以0≤b≤10，即x－2y的最大值是10.
D
二、能力提升
令A(0，1)，B(2，2)，P(x，0)，则问题转化为在x轴上求一点P(x，0)，使得|PA|＋|PB|取最小值.∵A关于x轴的对称点为A′(0，－1)，∴(|PA|＋|PB|)min＝|A′B|
13.点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点. (1)求线段AP的中点的轨迹方程；
解　设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式得点P坐标为P(2x－2，2y).∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP的中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点的轨迹方程.
解　设线段PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
三、创新拓展