高中湘教版（2019）第3章 圆锥曲线与方程3.2 双曲线背景图课件ppt

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第3章 圆锥曲线与方程
第二课时　双曲线的方程及性质的应用
课标要求
1.会求有关弦长问题.2.了解直线与双曲线的位置关系.
素养要求
通过运用双曲线的方程与性质解决问题，发展学生的逻辑推理及数学运算素养.
课前预习教材必备知识探究
内容索引
课堂研析题型关键能力提升
课后分层精练核心素养达成
内容索引
内容索引
ＫＥＱＩＡＮＹＵＸＩＪＩＡＯＣＡＩＢＩＢＥＩＺＨＩＳＨＩＴＡＮＪＩＵ
课前预习教材 必备知识探究
1
1.直线与双曲线位置关系的判断
温馨提醒　当直线与双曲线只有一个交点时，直线与双曲线不一定相切.
×
1.思考辨析，判断正误 (1)过点A(1，0)作直线l与双曲线x2－y2＝1只有一个公共点，则这样的直线可作2条.( ) 提示　过A(1，0)作直线l与双曲线只有一个公共点这样的直线可作3条.两条平行于渐近线，一条与双曲线相切. (2)直线l：y＝x与双曲线C：2x2－y2＝2有两个公共点.( ) (3)直线与双曲线有唯一交点是直线与双曲线相切的必要不充分条件.( )
√
√
√
A
C
3.直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是(　　)A.(1，2) B.(－2，－1)C.(－1，－2) D.(2，1)
ＫＥＴＡＮＧＹＡＮＸＩＴＩＸＩＮＧ ＧＵＡＮＪＩＡＮＮＥＮＧＬＩＴＩＳＨＥＮＧ
课堂研析题型 关键能力提升
2
例1 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试分别确定满足下列条件的实数k的取值范围. (1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点.
当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2).
此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个公共点.
此时方程(*)有两个相同的实数解，即直线l与双曲线有且只有一个公共点；当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x＝5，
此时方程(*)无实数解，即直线l与双曲线无公共点.
解　(ⅰ)当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与双曲线相切，符合题意.(ⅱ)当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)·x－k2＋2k－5＝0.当4－k2＝0，即k＝±2时，l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；
解　易得双曲线的左焦点为F1(－2，0)，
与双曲线方程联立，消y得8x2－4x－13＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
故双曲线上不存在被点B(1，1)所平分的弦.
法二　设双曲线上存在被点B平分的弦MN，且点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
又Δ＝－8<0，∴直线MN与双曲线不相交，故双曲线上不存在被点B平分的弦.
题型三　直线与双曲线位置关系的综合问题
解　显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，即y＝kx＋2－k.
整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
(2)△OAB的面积(O为坐标原点).
课堂小结
1.判断直线与双曲线的位置关系时，通常是将直线方程与双曲线方程联立方程组，方程组解的个数就是直线与双曲线公共点的个数，联立方程消去x或y中的一个后，得到形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项系数是否为零的情况，否则容易漏解.2.双曲线的综合问题常常涉及离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力.(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解.(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.
ＫＥＨＯＵＦＥＮＣＥＮＧＪＩＮＧＬＩＡＮＨＥＸＩＮＳＵＹＡＮＧＤＡＣＨＥＮＧ
课后分层精练 核心素养达成
3
1.直线y＝3x－8被双曲线x2－y2＝4所截得的弦的中点坐标是(　　)A.(1，3) B.(－3，－1)C.(3，1) D.(－1，－3)
C
解析　由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F(2，0)，
D
解析　设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a＞0)，
B
C
解析　∵y＝x为渐近线方程，则b＝2，即双曲线方程为x2－y2＝2.
又双曲线的半焦距为2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
解析　设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝2a，①又因为PF1⊥PF2，所以m2＋n2＝4c2，②①2－②得：－2mn＝4a2－4c2，所以mn＝－2a2＋2c2.又因为△F1PF2的面积是9，
D
所以c＝5，a＝4，所以b＝3，所以a＋b＝7.
2
解析　取B为双曲线右焦点，如图所示.
又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
9.已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长.
故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4，∴c＝2，∴F2(2，0)，又直线l的倾斜角为45°，∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线l的方程为y＝x－2，代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴A，B两点不位于双曲线的同一支上.
设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
(2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围.
B
二、能力提升
∴4k＋5k＝12－3，解得k＝1，
联立①②可解得a2＝4，b2＝5，
因为2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|，
又c2＝a2＋b2＝12＋b2，所以b2(12＋b2)＝3(b2＋12)，所以b2＝3，
解　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)(x0>0)，
B
三、创新拓展
由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，