【最新版】高中数学（新湘教版）习题+同步课件章末复习提升

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章末复习提升　　　　　　　　　　　　　　　　 要点一　排列与组合的应用在解决一个实际问题的过程中，常常遇到排列、组合的综合性问题，而解决问题的第一步是审题，只有认真审题，才能把握问题的实质，分清是排列问题、组合问题，还是综合问题，分清分类与分步的标准和方式，并且要遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步.解决排列组合应用题的常用方法：(1)合理分类，准确分步；(2)特殊优先，一般在后；(3)先取后排，间接排除；(4)相邻捆绑，间隔插空；(5)抽象问题，构造模型；(6)均分除序，定序除序.例1 6个女学生(其中有1个领唱)和2个男学生分成两排表演.(1)若每排4人，共有多少种不同的排法？(2)领唱站在前排，男学生站在后排，每排4人，有多少种不同的排法？解　(1)要完成这件事分三步.第一步，从8人中选4人站在前排，另4人站在后排，共有CC种不同的排法；第二步，前排4人进行全排列，有A种不同的排法；第三步，后排4人进行全排列，有A种不同的排法.由分步乘法计数原理知，有CCAA＝40 320(种)不同的排法.(2)思路与(1)同，有CAA＝5 760(种)不同的排法.训练1 7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？(1)两个女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)老师不站中间，女生甲不站左端.解　(1)∵两个女生必须相邻而站，∴把两个女生看作一个元素，则共有6个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列，共有AA＝1 440(种)站法.(2)∵4名男生互不相邻，∴应用插空法，对老师和女生先排列，形成四个空再排男生共有AA＝144(种)站法.(3)当老师站左端时，其余六个位置可以进行全排列，共有A＝720(种)站法；当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法，余下的5个人在五个位置进行排列，共有A×5×5＝3 000(种)站法.根据分类加法计数原理知共有720＋3 000＝3 720(种)站法.要点二　二项式定理的应用对于二项式定理的考查常有两类问题：第一类，直接运用通项求特定项或解决与系数有关的问题；第二类，需运用转化思想化归为二项式定理来处理的问题.例2 若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为(　　)A.－1   B.0  C.1   D.2答案　C解析　在(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x＝1，得(2＋)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4；令x＝－1，得(－2＋)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.两式相乘，得(2＋)4·(－2＋)4＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)·(a0－a1＋a2－a3＋a4).所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(－4＋3)4＝1.训练2 已知的展开式中倒数第三项的系数为45.(1)求含有x3的项；(2)求系数最大的项.解　(1)已知展开式中倒数第三项的系数为45，则C＝45，即C＝45，得n2－n＝90，解得n＝－9(不合题意，舍去)或n＝10.故通项Tr＋1＝C(x－)10－r(x)r＝Cx－＋(0≤r≤10，r∈N)，令－＋＝3，解得r＝6.故含有x3的项是第7项，为T7＝Cx3＝210x3.(2)∵的展开式中共有11项，且其二项式系数与项的系数相同，∴系数最大的项是第6项，为T6＝C(x－)5(x)5＝252x.要点三　分类讨论思想当计数问题过于复杂或限制条件较多时，一般采取分类讨论的方法解决，即对计数问题中的各种情况进行分类，然后针对每一类分别研究和求解.分类的原则是不重复、不遗漏.例3 (1)从编号为1，2，3，…，10，11的11个球中，取出5个球，使这5个球的编号之和为奇数，其取法总数为(　　)A.236   B.328  C.462   D.2 640(2)将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个球，若甲球必须放入第1个盒子中，则不同的方法种数是(　　)A.120   B.72  C.60   D.36答案　(1)A　(2)C解析　(1)以取出的编号为奇数的球的个数进行分类.第一类，取出的5个球的编号中只有1个奇数，有CC＝30(种)取法；第二类，取出的5个球的编号中有3个奇数，有CC＝200(种)取法；第三类，取出的5个球的编号全是奇数，有C＝6(种)取法.根据分类加法计数原理，共有30＋200＋6＝236(种)取法.(2)共有4个盒子5个球，所以必有1个盒子中放入2个球，且甲必须在第1个盒子中，所以应以第1个盒子中的球的个数进行分类.第一类，第1个盒子中只有甲球，把剩余的4个球分成个数分别为1，1，2的三堆，再分配给剩余的3个盒子，共有方法CA种；第二类，第1个盒子中有2个球，此时相当于把除甲球外的4个球放入4个盒子中，方法有A种.根据分类加法计数原理，满足题意的方法种数为CA＋A＝60.训练3 某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.则该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(　　)A.36种   B.42种 C.48种   D.54种答案　B解析　分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C种排法，第三、四、五位有A种排法，故有CA种排法.依分类加法计数原理，知共有A＋CA＝42(种)编排方案.要点四　正难则反思想正难则反既是一种手段，又是一种策略.有许多计数问题，应用正难则反思想求解，常能事半功倍.在解题时，当正向思维受阻时，不妨改变思维方向，从结论或条件的反面进行思考，从而使问题得到解决.例4 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为(　　)A.484   B.472  C.252   D.232答案　B解析　设(x，y，z)表示取x张红色卡片、y张黄色卡片、z张蓝色卡片.若从正面考虑，需考虑当不取绿色卡片时，有(2，1，0)，(2，0，1)，(1，2，0)，(0，2，1)，(1，0，2)，(0，1，2)，(1，1，1)，共7类；当取1张绿色卡片时，有(2，0，0)，(0，2，0)，(0，0，2)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，共6类，分类较多，而其对立面为3张卡片同一颜色或2张绿色卡片，第三张从非绿色卡片中任取，其包含的情况较少，因此用正难则反思想求解.根据题意，共有C种取法，其中每一种卡片各取3张，有4C种取法，取2张绿色卡片有C·C种取法，故所求的取法共有C－4C－C·C＝472(种).训练4 若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种.答案　11解析　把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A种排法；第二步：排两个o，共一种排法，所以总的排法种数为A＝12.其中正确的有一种，所以错误的共有A－1＝12－1＝11(种).