【最新版】高中数学（新湘教版）习题+同步课件章末检测卷(一)

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章末检测卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
第1章 数 列
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2 023，则序号n等于(　　) A.667 B.668 C.669 D.675 解析　由2 023＝1＋3(n－1)，解得n＝675.
D
2.在等差数列{an}中，a3＋a5＝12－a7，则a1＋a9＝(　　)A.8 B.12 C.16 D.20 解析　由a3＋a5＝12－a7，得a3＋a5＋a7＝12＝3a5，即a5＝4，故a1＋a9＝2a5＝8.
A
3.已知数列{an}是等差数列，a1＝2，其公差d≠0.若a5是a3和a8的等比中项，则S18＝(　　)A.398 B.388 C.189 D.199
C
4.等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和是(　　)A.81 B.120 C.168 D.192 解析　由a5＝a2q3得q＝3.
B
C
6.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，则m等于(　　) A.7 B.6 C.5 D.4
C
7.已知数列{an}的前n项和Sn＝3n(λ－n)－6，若数列{an}单调递减，则λ的取值范围是(　　) A.(－∞，2) B.(－∞，3) C.(－∞，4) D.(－∞，5) 解析　∵Sn＝3n(λ－n)－6，① ∴Sn－1＝3n－1(λ－n＋1)－6，n＞1，② ①－②得an＝3n－1(2λ－2n－1)(n＞1，n∈N＋)，又{an}为单调递减数列， ∴an＞an＋1，且a1＞a2. ∴3n－1(2λ－2n－1)＞3n(2λ－2n－3)， 化为λ＜n＋2(n＞1)，且λ＜2， ∴λ＜2，∴λ的取值范围是(－∞，2).故选A.
A
8.从2018年起，某人每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2022年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为(　　)
D
解析　设自2019年起每年到5月1日存款本息合计为a1，a2，a3，a4.则a1＝a＋a·p＝a(1＋p)，a2＝a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋p)＝a(1＋p)2＋a(1＋p)，a3＝a2(1＋p)＋a(1＋p)＝a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)，
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9.记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5＝35，a4＝11，则(　　) A.an＝4n－5 B.an＝2n＋3 C.Sn＝2n2－3n D.Sn＝n2＋4n
AC
10.已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是(　　)
AD
解析　当an＝1时，log2(an)2＝0，所以数列{log2(an)2}不一定是等比数列；当q＝－1时，an＋an＋1＝0，所以数列{an＋an＋1}不一定是等比数列；
11.朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是(　　) A.4 B.5 C.7 D.8
BD
验证可得n＝5，8满足题意.故选BD.
12.已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N＋)在函数y＝3×2x的图象上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N＋)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是(　　) A.Sn＝2Tn B.Tn＝2bn－1 C.Tn>an D.TnBD
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，则a4＝________，前8项的和S8＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
8
255
解析　由a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，可知数列{an}为等比数列，故a4＝8，S8＝255.
14.已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和.若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.
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15.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为________.
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16.将数列{3n－1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：(1)，(3，9)，(27，81，243)，…，则第100组中的第一个数是________.
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四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通项公式；
解　设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－9.
(2)求Sn，并求Sn的最小值.
解　由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
解　设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，
21.(12分)2022年推出一种新型家用轿车，购买时费用为16.9万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共1.2万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元. (1)设该辆轿车使用n年的总费用(包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费)为f(n)，求f(n)的表达式；
所以f(n)＝16.9＋1.2n＋(0.1n2－0.1n) ＝0.1n2＋1.1n＋16.9(万元)，n∈N＋.
(2)这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年，年平均费用最少)?
故这种汽车使用13年报废最合算.
22.(12分)若数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
解　∵数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.∴a1＋1＝2，解得a1＝1.又∵数列{an}是公差为2的等差数列，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.∴2nbn＝nbn＋1，2bn＝bn＋1，∴数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，即bn＝2n－1.
综上可得，实数λ的取值范围是(－2，3).