进阶训练7　(范围：3.2～3.3)

一、基础达标

1.双曲线－y2＝1的焦点坐标是(　　)

A.(－，0)，(，0)   B.(－2，0)，(2，0)

C.(0，－)，(0，)   D.(0，－2)，(0，2)

答案　B

解析　由题可知双曲线的焦点在x轴上，

因为c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，

故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).故选B.

2.双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)

A.3x±4y＝0   B.4x±3y＝0

C.9x±16y＝0   D.16x±9y＝0

答案　A

解析　由－＝1得a2＝16，b2＝9，即a＝4，b＝3，

∴渐近线方程为y＝±x，即3x±4y＝0.

3.抛物线y2＝2x上任一点到直线x－y＋1＝0的距离的最小值是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　设抛物线y2＝2x上任一点为，

则该点到直线x－y＋1＝0的距离为

＝|m2－2m＋2|＝|(m－1)2＋1|，

当m＝1时，取得最小值为.

4.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为(　　)

A.－＝1   B.－＝1

C.－＝1   D.－＝1

答案　A

解析　双曲线C的渐近线方程为y＝±x，点P(2，1)在渐近线上，

∴＝1，即a2＝4b2，

又a2＋b2＝c2＝25，解得b2＝5，a2＝20，故选A.

5.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)

A.2   B.3

C.   D.

答案　A

解析　易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，

如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度，

其中F(1，0)为抛物线y2＝4x的焦点.

由图可知，距离和的最小值即F到直线l1的距离d＝＝2.

6.若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________.

答案　9

解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，

由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，

故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，

所以点M到y轴的距离为9.

7.若双曲线－＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________.

答案　4

解析　双曲线－＝1的标准方程为－＝1，由此c2＝3＋，左焦点为.

由y2＝2px得准线为x＝－，

∴－ ＝－，又p>0，

∴p＝4.

8.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________.

答案　

解析　设双曲线的焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)，虚轴两个端点为B1(0，－b)，B2(0，b)，

因为c>b，所以∠B1F1B2＝60°，

∴tan 30°＝，∴c＝b，

又a2＝c2－b2＝2b2，∴a＝b.

∴e＝＝＝.

9.若k是实数，试讨论方程kx2＋2y2－8＝0表示何种曲线.

解　当k<0时，曲线方程化为－＝1，表示焦点在y轴的双曲线；

当k＝0时，曲线方程化为2y2－8＝0，表示两条垂直于y轴的直线；

当0<k<2时，曲线方程化为＋＝1，表示焦点在x轴的椭圆；

当k＝2时，曲线方程化为x2＋y2＝4，表示一个圆；

当k>2时，曲线方程化为＋＝1，表示焦点在y轴的椭圆.

10.如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，1).

(1)求抛物线C的方程.

(2)过点P(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合).设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.

(1)解　由题意得2p＝1，所以抛物线方程为y2＝x.

(2)证明　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝t(y＋1)＋3，

代入抛物线方程，整理得y2－ty－t－3＝0.

因为Δ＝(t＋2)2＋8>0，

所以y1＋y2＝t，y1y2＝－t－3.

所以k1k2＝·＝·

＝＝

＝＝－，故k1k2是定值.

二、能力提升

11.已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)

A.   B.2 

C.   D.

答案　D

解析　不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，

∴M点的坐标为(2a，a).

∵M点在双曲线上，

∴－＝1，a＝b，

∴c＝a，e＝＝.故选D.

12.(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点.若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则(　　)

A.△ABF是等边三角形

B.|BF|＝3

C.点F到准线的距离为3

D.抛物线C的方程为y2＝6x

答案　ACD

解析　∵以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，

由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，

∴△ABF是等边三角形，∴∠FBD＝30°.

∵△ABF的面积为|BF|2＝9，

∴|BF|＝6.

又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，则该抛物线的方程为y2＝6x.

13.已知点A(－，0)和B(，0)，动点C到A，B两点的距离之差的绝对值为2.

(1)求点C的轨迹方程；

(2)点C的轨迹与经过点(2，0)且斜率为1的直线交于D，E两点，求线段DE的长.

解　(1)∵点A(－，0)和B(，0)，动点C到A，B两点的距离之差的绝对值为2.

又|AB|＝2>2，

∴点C的轨迹方程是以A(－，0)和B(，0)为焦点的双曲线，且a＝1，c＝，

∴点C的轨迹方程是x2－＝1.

(2)∵点C的轨迹方程是2x2－y2＝2，经过点(2，0)且斜率为1的直线方程为y＝x－2.

∴联立得x2＋4x－6＝0，

设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1＋x2＝－4，x1x2＝－6，

∴|DE|＝

＝4.

故线段DE的长为4.

三、创新拓展

14.过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程.

解　(1)抛物线x2＝2py的准线方程为

y＝－，

当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，

∴1＋＝2，∴p＝2，

∴抛物线C的方程为x2＝4y.

(2)∵M(－2，y0)在C上，

∴y0＝＝1，

又F(0，1)，设l的方程为y＝kx＋1，

由得x2－4kx－4＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，＝(x1＋2，y1－1)，＝(x2＋2，y2－1)，

∵MA⊥MB，∴·＝0，

∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，

∴－4＋8k＋4－4k2＝0，

∴k＝2或0，

当k＝0时，l过M点(舍)，

当k＝2时，l不过M点，∴k＝2，

∴l的方程为y＝2x＋1.