【最新版】高中数学（新湘教版）习题+同步课件进阶训练3　(范围：1.1～1.3)

进阶训练3　(范围：1.1～1.3)

一、基础达标

1.数列2，4，6，…的前n项和Sn为(　　)

A.n2＋1＋   B.n2＋2－

C.n(n＋1)＋－   D.n(n＋1)＋

答案　C

解析　Sn＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋＝n(2＋2n)＋＝n(n＋1)＋－.

2.等比数列{an}中，a5＝2，a6＝5，则数列{lg an}的前10项和等于(　　)

A.6   B.5 

C.4   D.3

答案　B

解析　∵数列{an}是等比数列，a5＝2，a6＝5，∴a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＝10，

∴lg a1＋lg a2＋…＋lg a10＝lg(a1·a2·…·a10)＝lg(a5a6)5＝5lg 10＝5.

故选B.

3.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则这个数列的第n项为(　　)

A.2n－1   B.2n＋1

C.    D.

答案　C

解析　∵an＋1＝，a1＝1，∴－＝2.

∴为等差数列，公差为2，首项＝1.

∴＝1＋(n－1)×2＝2n－1，

∴an＝.

4.1＋＋＋…＋(1＋＋＋…＋)的值为(　　)

A.18＋   B.20＋

C.22＋   D.18＋

答案　B

解析　设an＝1＋＋＋…＋

＝＝2，

∴原式＝a1＋a2＋…＋a11＝2＋2＋…＋2

＝2＝2＝2

＝2＝20＋.

5.已知函数f(x)＝(x∈R)，若等比数列{an}满足a1a2 021＝1，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 021)＝(　　)

A.2 021   B. 

C.2   D.

答案　A

解析　∵函数f(x)＝(x∈R)，

∴f(x)＋f＝＋＝＋＝2.

∵数列{an}为等比数列，且a1·a2 021＝1，

∴a1a2 021＝a2a2 020＝a3a2 019＝…＝a2 021a1＝1.

∴f(a1)＋f(a2 021)＝f(a2)＋f(a2 020)

＝f(a3)＋f(a2 019)＝…＝f(a2 021)＋f(a1)＝2，

∴f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 021)＝2 021.故选A.

6.在等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.

则数列{an}的通项公式为________.

答案　an＝2×3n－1

解析　当a1＝3时，不合题意；

当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；

当a1＝10时，不合题意.

因此a1＝2，a2＝6，a3＝18，

所以公比q＝3，故an＝2×3n－1.

7.在数列{an}中，已知Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，n∈N＋，则S15＋S22－S31的值是________.

答案　－76

解析　S15＝－4×7＋a15＝－28＋57＝29，

S22＝－4×11＝－44，

S31＝－4×15＋a31＝－60＋121＝61，

S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.

8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－1(n∈N＋)，则数列{nan}的前n项和Tn为________.

答案　(n－1)2n＋1

解析　∵Sn＝2an－1(n∈N＋)，

∴n＝1时，a1＝2a1－1，解得a1＝1，

n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－1－(2an－1－1)，化为an＝2an－1，

∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴an＝2n－1.

∴nan＝n·2n－1.

则数列{nan}的前n项和Tn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n·2n－1.

∴2Tn＝2＋2×22＋…＋(n－1)×2n－1＋n·2n，

∴－Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)·2n－1，

∴Tn＝(n－1)2n＋1.

9.已知函数f(x)＝2x－3x－1，点(n，an)在f(x)的图象上，数列{an}的前n项和为Sn，求Sn.

解　由题意得an＝2n－3n－1，

Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2＋22＋…＋2n)－3(1＋2＋3＋…＋n)－n

＝－3·－n

＝2n＋1－－2.

10.已知等差数列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10项和S10＝100.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和.

解　(1)由已知得

解得

所以数列{an}的通项公式为

an＝1＋2(n－1)＝2n－1.

(2)bn＝＝，

所以Tn＝

＝＝.

二、能力提升

11.(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且对于任意n>1，n∈N＋，满足

Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，则(　　)

A.a9＝17   B.a10＝18

C.S9＝81   D.S10＝91

答案　BD

解析　∵对于任意n>1，n∈N＋，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，

∴Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，

∴an＋1－an＝2.

∴数列{an}在n≥2时是等差数列，公差为2.

又a1＝1，a2＝2，

则a9＝2＋7×2＝16，a10＝2＋8×2＝18，S9＝1＋8×2＋×2＝73，S10＝1＋9×2＋×2＝91.故选BD.

12.设Sn是数列{an}的前n项和，且满足a＋1＝2anSn，且an>0，则Sn＝________，a100＝________.

答案　　10－3

解析　由Sn是数列{an}的前n项和，且满足a＋1＝2anSn，

则当n＝1时，a＋1＝2a1S1，即S＝1；当n≥2时，(Sn－Sn－1)2＋1＝2(Sn－Sn－1)Sn，整理得S－S＝1.

所以数列{S}是以1为首项，1为公差的等差数列，则S＝n.由于an>0，所以Sn＝，故a100＝S100－S99＝－＝10－3.

13.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N＋.

(1)设bn＝，证明：数列{bn}是等差数列；

(2)在(1)的条件下求数列{an}的前n项和Sn.

(1)证明　由已知an＋1＝2an＋2n，

得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.

∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.

∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.

(2)解　由(1)知，bn＝n，＝bn＝n.

∴an＝n·2n－1.

∴Sn＝1＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，

两边同时乘以2得

2Sn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，

两式相减得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，

∴Sn＝(n－1)×2n＋1.

三、创新拓展

14.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，2Sn＝an＋1，bn＝(－1)n·(log3an)2，则an＝________，数列{bn}的前2n项和为________.

答案　3n－1　2n2－n

解析　根据题意，数列{an}满足2Sn＝an＋1①，

则当n≥2时，有2Sn－1＝an②，

由①－②可得(an＋1－3an)＝0，

所以an＋1－3an＝0，即an＋1＝3an(n≥2).

由2Sn＝an＋1，

可求得a2＝3，a2＝3a1，

则数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，

所以an＝3n－1，bn＝(－1)n·(log3an)2＝(－1)n·(log33n－1)2＝(－1)n(n－1)2，

则b2n－1＋b2n＝－(2n－2)2＋(2n－1)2＝4n－3.

所以数列{bn}的前2n项和T2n＝1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝＝2n2－n.