【最新版】高中数学（新湘教版）习题+同步课件限时小练31　椭圆的方程及性质的应用

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限时小练31　椭圆的方程及性质的应用　　　　　　　　　　　　　　　　1.已知椭圆L：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆L的标准方程；(2)过点Q(0，2)的直线l与椭圆L交于A、B两点，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l的方程及|AB|的大小.解　(1)由e2＝＝＝1－＝，得a2＝4b2.又∵短轴长为2可得b＝1，a2＝4，∴椭圆L的标准方程为＋y2＝1.(2)易知直线l的斜率存在且不为零，设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝kx＋2，联立消去y，得(4k2＋1)x2＋16kx＋12＝0，Δ＝(16k)2－48(4k2＋1)＝16(4k2－3)>0，即k2>.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝，x1x2＝，由题意可知⊥，所以·＝0，即x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝0，∴－＋4＝0，解得k2＝4>，即k＝±2.∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝.综上，直线l的方程为y＝±2x＋2，|AB|＝.2.已知椭圆C的焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，长轴长为6，设直线y＝x＋2交椭圆C于A，B两点.(1)求线段AB的中点坐标；(2)求△AOB的面积.解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得a＝3，c＝2，于是b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.由得10x2＋36x＋27＝0.因为该一元二次方程的Δ>0，所以点A，B不同，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，y1＋y2＝(x1＋2)＋(x2＋2)＝，故线段AB的中点坐标为.(2)设点O到直线y＝x＋2的距离为d，则d＝＝.又由(1)知x1x2＝，所以|AB|＝＝＝，故S△AOB＝××＝.