【最新版】高中数学（新湘教版）习题+同步课件限时小练34　双曲线的方程及性质的应用

限时小练34　双曲线的方程及性质的应用

1.过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线－y2＝1的弦所在的直线方程是________.

答案　3x＋4y－5＝0

解析　易知所求直线的斜率存在，设为k，

则该直线的方程为y＋1＝k(x－3)，

代入－y2＝1，

消去y得关于x的一元二次方程

(1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0(1－4k2≠0)，

∴－＝6，

∴k＝－(满足Δ>0)，

∴所求直线方程为3x＋4y－5＝0.

2.过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则满足条件的直线l有________条.

答案　3

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝，

由

得y＝±2，

∴|AB|＝|y1－y2|＝4，满足题意.

当直线l的斜率存在时，

设其方程为y＝k(x－)，

由

得(2－k2)x2＋2k2x－3k2－2＝0.

当2－k2≠0时，

x1＋x2＝，x1x2＝，

|AB|＝

＝

＝＝＝4，

解得k＝±.故满足条件的直线l有3条.

3.若双曲线E：－y2＝1(a>0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点.

(1)求k的取值范围；

(2)若|AB|＝6，求k的值.

解　(1)由得

故双曲线E的方程为x2－y2＝1.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由

得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①

∵直线与双曲线右支交于A，B两点，

故

即

∴1<k<.

∴k的取值范围是(1，).

(2)由①得x1＋x2＝，x1x2＝，

∴|AB|＝·

＝2＝6，

整理得28k4－55k2＋25＝0，

∴k2＝或k2＝.

又1<k<，∴k＝.