【最新版】高中数学（新湘教版）习题+同步课件限时小练35　抛物线的标准方程

限时小练35　抛物线的标准方程

1.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　D

解析　由已知得焦点坐标为F，

因此直线AB的方程为y＝，

即4x－4y－3＝0.

联立直线方程与抛物线方程得x2－x＋＝0，故xA＋xB＝.

根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，

同时原点到直线AB的距离为

h＝＝，

因此S△OAB＝|AB|·h＝.

2.已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是________.

答案　－1

解析　由题意知，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0，4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1，0).根据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即为点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝－1.当C，Q，P，F四点共线时，取得最小值，最小值为－1.

3.若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，求点M的轨迹方程.

解　由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，

所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等.

由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，

其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，

而＝，

所以p＝1，2p＝2，

故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0).