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【最新版】高中数学(新湘教版)习题+同步课件限时小练37 抛物线的方程及性质的应用
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限时小练37 抛物线的方程及性质的应用1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=8,则p=________.答案 2解析 ∵F,∴直线AB的方程为y=x-,将其与y2=2px联立,消去y,得x2-3px+=0.设A(xA,yA),B(xB,yB),由根与系数的关系知xA+xB=3p,xAxB=.|AB|==4p=8,解得p=2.2.已知A(2,0),B为抛物线y2=x上的一点,则|AB|的最小值为________.答案 解析 设点B(x,y),则x=y2≥0,所以|AB|====.所以当x=时,|AB|取得最小值,且|AB|min=.3.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若=3,求|AB|.解 设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-.从而-=,得t=-.所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2.由可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.
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