江西省萍乡市2020届高三数学一模考试试题(含解析)

江西省萍乡市2020届高三一模考试数学试题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合，，则（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

集合 ，，两个集合有公共元素1，故A不对。两个集合也有不同元素。故答案选B。

故答案选B。

2.若复数满足（其中是虚数单位），则的虚部为（   ）

A. 1 B. 6 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数的运算法则得出z，结合虚部的定义求得结果．

【详解】∵复数z满足i（z﹣3）＝﹣1+3i，

∴6+i．

∴的虚部为1．

故选：A．

【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．

3.函数 的零点所在的大致区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

试题分析：函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．

解：∵f（1）=ln（1+1）﹣2=ln2﹣2＜0，

而f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，

∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是 （1，2），

故选B．

考点：函数零点与方程根的关系．

4.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

分析：由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和。

详解：设小正方形的边长为1，可得黑色平行四边形的底为高为；黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为2，大正方形的边长为2，

所以，

故选C。

点睛：本题主要考查几何概型，由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，通过分析观察，求得黑色平行四边形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角边和斜边长，进而计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和，再将黑色部分面积除以大正方形面积可得概率，属于较易题型。

5.设和为双曲线的两个焦点，若点，是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

若，设，则，是等腰直角三角形的三个顶点，，，，即，双曲线的渐近线方程为，即为，故选C.

6.给出下列四个命题：

若为的极值点，则”的逆命题为真命题；

“平面向量，的夹角是钝角”的充分不必要条件是；

若命题，则  ；

命题“，使得”的否定是：“，均有”．其中不正确的个数是　　

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

【答案】A

【解析】

【分析】

先写出原命题的逆命题，再判断其真假，从而判断出真假；利用充分条件与必要条件的概念进行判断；先写出，判断出真假；根据特称命题的否定来判断．

【详解】对于，若为的极值点，则”的逆命题为“若，则为的极值点”，如，当时，满足，但不是的极值点，因此逆命题为假命题，故错误；

对于，平面向量，满足，则向量，的夹角是钝角或平角，不满足充分性；平面向量，的夹角是钝角，则满足，显然“平面向量，的夹角是钝角”的必要不充分条件是，故错误；

对于，若命题p：，则：，故错误；

特称命题的否定为全称命题，即命题“，使得”的否定是：“，均有”；故正确．

故选：A．

【点睛】本题考查命题判断真假的应用，常运用反例法，属于基础题．

7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内的取值范围是　　

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

执行程序框图，从而执行结果找到结束循环的条件．

【详解】程序框图执行如下：

则输出的结果是7，

的取值范围；

故选：A．

【点睛】本题考查了学生读程序框图的能力，属于基础题．

8.如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为　　

A.  B. 截面

C.  D. 异面直线与所成的角为

【答案】C

【解析】

【分析】

首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，将AC、BD平移到正方形内，即可利用平面图形知识作出判断．

【详解】因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，

则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，

所以PQ∥AC，QM∥BD，

由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；

由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；

异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；

综上C是错误的．

故选：C．

【点睛】本题主要考查线面平行的性质与判定，考查了异面直线所成角的定义及求法，属于基础题．

9.已知拋物线：的焦点为，准线：，点在拋物线上，点在直线：上的射影为，且直线的斜率为，则的面积为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

画出图形，抛物线的性质和正三角形的性质计算出A，M的坐标，计算三角形的面积．

【详解】因为抛物线的准线：，所以焦点为F（1，0），抛物线C：y2＝4x，

点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，且直线AF的斜率kAF，

准线与x轴的交点为N，则AN＝22，A（，2），则M（3，2），

∴AM×AN4×2．

故选：C．

【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质的应用，三角形的面积计算，属于中档题．

10.若函数在区间上单调递增，则正数的最大值为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】∵在区间上单调递增，

∴，解得，∴，

∴正数ω的最大值是．

故选：B．

【点睛】本题考查三角函数中参数值的最大正值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二倍角的正余弦公式、正弦函数单调性的合理运用．

11.如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（     ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知中的三视图可得：该几何体是该几何体是如图所示的三棱

柱挖去一个三棱锥，进而得到答案．

【详解】由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱

柱挖去一个三棱锥，故所求几何体

的体积为.

故选A.

【点睛】】本题考查的知识点是由三视图求几何体体积，考查空间想象能力，属于中档题．

12.已知函数在定义域上的导函数为，若函数没有零点，且，当在上与在上的单调性相同时，则实数的取值范围是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意可知：f（x）为R上的单调函数，则f（x）﹣2020x为定值，由指数函数的性质可知f（x）为R上的增函数，则g（x）在[，]单调递增，求导，则g（x）≥0恒成立，则ksin（x）min，根据函数的正弦函数的性质即可求得k的取值范围．

【详解】解：若方程f（x）＝0无解，

则 f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，所以f（x）为R上的单调函数，

∀x∈R都有，

则为定值，

设t＝，则f（x）＝t+，易知f（x）为R上的增函数，

∵g（x）＝sinx﹣cosx﹣kx，

∴，

又g（x）与f（x）的单调性相同，

∴g（x）在R上单调递增，则当x∈[，]，g（x）≥0恒成立，

当时，，，

，

此时k≤﹣1，

故选：A．

【点睛】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，正弦函数的性质，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知等比数列的前项和为，且，，则______．

【答案】

【解析】

【分析】

由等比数列的性质列方程组求出，由此能求出结果．

【详解】等比数列的前n项和为，且，，

由等比数列的性质得：（）2，即2﹣8+16＝0， 解可得＝4， 则q38，则q＝2，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查等比数列的求和公式，考查等比数列的性质基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

14.设为所在平面内一点，，若，则__________．

【答案】-3

【解析】

【分析】

直接利用向量的线性运算求出结果．

【详解】∵所在平面内一点, ，

∴B，C，D三点共线.若 ∴，

化为： =+，与=−+，比较可得： ，解得.

即答案为-3.

【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题．

15.记命题为“点满足”，记命题为“满足”,若是的充分不必要条件，则实数的最大值为______．

【答案】

【解析】

【分析】

画出约束条件的可行域，是的充分不必要条件，判断圆与可行域的关系，然后求解a的最大值即可．

【详解】满足的可行域如图：记命题为“点满足（）”，记命题为“满足”，若是的充分不必要条件，说明圆的图形在可行域内部，则实数a的最大值就是圆与直线相切时，半径取得最小值，即

即答案为.

【点睛】本题考查线性规划的简单应用，充分不必要条件的应用，考查数形结合以及计算能力．

16.已知函数，若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【详解】函数可化为：f（x），

∵若m＞0，当0＜x＜2时，f（x）递增，

当2≤x＜3时，f（x）的对称轴是x0，

故函数f（x）在[2，3）递增，∵f（x）在（0，3）连续，∴f（x）在（0，3）递增；

∴当m＞0时，函数f（x）在（0，3）不可能有2个不同的零点，

当m＝0时，f（x）在（0，3）上没有2个不同的零点，

当m＜0时，f（x）在（0，2）递减，

①当02即﹣8≤m＜0时，函数f（x）在[2，3）递增，

故函数f（x）在区间（0，3）有2个不同的零点只需满足：

即，解得：＜m＜﹣2，

②当23即﹣12＜m＜﹣8时，

函数f（x）在（0，）递减，在（，3）递增，

故函数f（x）在区间（0，3）有2个不同的零点只需满足：

即，解得m>，又﹣12＜m＜﹣8，所以不存在满足条件的m，

③当3即m≤﹣12时，函数f（x）在（0，3）递减，

函数f（x）在（0，3）上不可能有2个不同的零点，

综上，＜m＜﹣2时，函数f（x）在区间（1，3）上有2个不同的零点．

【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查分类讨论思想以及分段及二次函数的基本性质，考查转化思想，是一道综合题．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.在中，内角、、的对边分别是、、，且.

（1）求的值；

（2）若向量，，，当取得最大值时，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由已知利用正弦定理可求a2+c2﹣b2，进而利用余弦定理可求cosB的值，即可得解B的值．

（2）利用平面向量数量积的运算和三角函数恒等变换的应用可求结合已知可求sinA的值，利用正弦定理即可得解b的值．

【详解】（1）因为中，，

所以

变形为.

由正弦定理得：.

由余弦定理得：，

又因为，∴.

（2）因为

，

所以当时，取得最大值，此时，

由正弦定理得.

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，平面向量数量积的运算和三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

18.如图，四棱锥中，，//，，为正三角形. 且.

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若点到底面的距离为2，是线段上一点，且//平面，求四面体的体积.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）证明，，可证平面平面；

（Ⅱ）如图，连接，交于点，因为//，由（Ⅰ）点到平面的距离为2，

所以点到平面的距离为，所以由可求四面体的体积.

【详解】（Ⅰ）证明：，且，，又为正三角形，所以，又，，所以，

又，//，，，

所以平面，又因为平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）如图，连接，交于点，因为//，

且，所以，连接，

因为//平面，所以//，则，

由（Ⅰ）点到平面的距离为2，

所以点到平面的距离为，

所以，

即四面体的体积为.

【点睛】本题考查面面垂直的证明以及锥体体积的实际，属中档题.

19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响．对近六年的年宣传费和年销售量（）的数据作了初步统计，得到如下数据：

经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式（）．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如表：

（1）根据所给数据，求关于的回归方程；

（2）已知这种产品的年利润与，的关系为若想在年达到年利润最大，请预测年的宣传费用是多少万元？

附：对于一组数据，，…，，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计分别为，

【答案】（1）（2）当2020年的宣传费用为98万元时，年利润有最大值.

【解析】

【分析】

（1）转化方程，结合线性回归方程参数计算公式，计算，即可。（2）将z函数转化为二次函数，计算最值，即可。

【详解】（1）对，（，），两边取对数得，

令，，得，

由题目中的数据，计算，，

且 ，

；

则 ，

，

得出，

所以关于的回归方程是；

（2）由题意知这种产品的年利润z的预测值为

，

所以当，即时，取得最大值，

即当2020年的年宣传费用是万元时，年利润有最大值.

【点睛】考查了线性回归方程求解，考查了二次函数计算最值问题，关键结合题意，得到回归方程，第二问关键转化为二次函数问题，难度中等。

20.如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切．

求动圆圆心轨迹的方程；

过直线上的点作圆的两条切线，设切点分别是，若直线与轨迹交于两点，求的最小值．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）设动圆的半径为，由题动圆与圆内切，与圆外切，则

，由此即可得到动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，进而得到动圆圆心的轨迹的方程；

（Ⅱ）设直线上任意一点的坐标是，切点坐标分别是，

；则经过点的切线斜方程是，同理经过点的切线方程是，又两条切线，相交于 .可得经过两点的直线的方程是，对分类讨论分别求出的值，即可得到的最小值.

【详解】（Ⅰ）设动圆半径为，∵动圆与圆内切，与圆外切，

∴，且.于是，，

所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.从而，，

所以.故动圆圆心的轨迹的方程为．

（Ⅱ）设直线上任意一点的坐标是，切点坐标分别是，

；则经过点的切线斜率，方程是，

经过点的切线方程是，又两条切线，相交于 .

    则有，所以经过两点的直线的方程是，

①当时，有，，，，则；

②当时，联立，整理得；

设坐标分别为，，则，

所以，

综上所述，当时，有最小值．

【点睛】本题考查点的轨迹的求法，考查直线与圆、椭圆的位置关系，属中档题.

21.已知函数，.

（1）若在区间上不是单调函数，求实数的范围；

（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由.

【答案】（1）；（2）;（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到，若不是单调函数，则不恒成立；（2）含参数不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单，常用到两个结论：（1），（2）.（3）与函数有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用题中关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点.

试题解析：解：（1）由

得，因在区间上不上单调函数

所以在上最大值大于0，最小值小于0

，

由，得

，且等号不能同时取，，即

恒成立，即

令，求导得

当时，，从而

在上是增函数，

由条件，

假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧

不妨设，则，且

是以为直角顶点的直角三角形，

是否存在等价于方程在且是否有解

①当时，方程为，化简，此方程无解；

②当时，方程为，即

设，则

显然，当时，，即在上为增函数

的值域为，即，当时，方程总有解

对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在轴上

考点：1、利用导数求参数取值范围；2、恒成立的问题；3、探究性问题

22.在直角坐标系中，圆经过伸缩变换后得到曲线．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程及直线的直角坐标方程；

（2）设点是上一动点，求点到直线的距离的最大值．

【答案】（1），；（2）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由经过伸缩变换，可得曲线的方程，由极坐标方程可得直线的直角坐标方程．

（Ⅱ）因为椭圆的参数方程为 （为参数），所以可设点，

由点到直线的距离公式，点到直线的距离为由三角函数性质可求点到直线的距离的最大值.

【详解】（Ⅰ）由经过伸缩变换，可得曲线的方程为，即，由极坐标方程可得直线的直角坐标方程为．

（Ⅱ）因为椭圆的参数方程为 （为参数），所以可设点，

由点到直线的距离公式，点到直线的距离为（其中，），由三角函数性质知，当时，点到直线的距离有最大值．

【点睛】本题考查的知识点是简单的极坐标方程，直线与圆锥曲线的关系，难度中档．

23.已知函数， ，其中， 均为正实数，且．

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）当时，求证．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

【分析】

（Ⅰ）把用分段函数来表示，分类讨论，求得的解集．
（Ⅱ）当x∈R时，先求得的最大值为2，再求得）的最小值，根据的最小值减去的最大值大于或等于零，可得成立．

【详解】（Ⅰ）由题意， ，（1）当时， ，不等式无解；（2）当时， ，解得，所以．（3）当时， 恒成立，所以的解集为．

（Ⅱ）当时， ；

．

而，

 当且仅当时，等号成立，即，因此，当时， ，所以，当时， ．

【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值三角不等式的应用，比较2个数大小的方法，属于中档题．