2020-2021学年第十三章 轴对称13.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质教学设计

课题

13.1.2《线段垂直平分线的性质》第一课时

教材分析

线段垂直平分线的性质和判定是定理及逆定理的关系。同时，线段垂直平分线是一条重要的轨迹．线段垂直平分线是到两个端点距离相等的点的集合，这条线上实际包含了满足条件的所有点，这为学生今后进一步的学习打下基础。

线段的垂直平分线的有关知识在今后的学习中经常用到，它是在认识了轴对称性质的基础上来学习的．是今后证明线段相等和直线互相垂直的依据，因此本节课具有承上启下的重要作用。

教学目标

知识与技能：

1.理解线段的垂直平分线的性质和判定。

2.会利用线段的垂直平分线的性质和判定进行推理。

过程与方法：

1.自己动手探究发现线段的垂直平分线的性质和判定，培养学生的观察、猜想、归纳能力。

2.通过理解老师的分析过程，提高学生分析推理能力。

3.通过应用线段的垂直平分线的性质和判定进行推理，培养学生几何推理的严密性。

情感态度与价值观：

1.要求学生在学习中运用发现法，体验几何发现的乐趣。

2.在实际操作动手中感受几何应用美。

教学重点和难点

重点：线段的垂直平分线性质的运用。

 难点：线段的垂直平分线判定的证明。

教学过程

教学环节

教学内容

教师活动

预设学生行为

设计意图

活动一： 

情景引入

在106国道某段的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？

由教师用课件投影问，并提出问 题。

学生独立思考，但不要求学生能解答问题。

让学生体会数学来源于生活又服务于生活，感受几何应用美。 

现实生活中遇到了需要解决的问题，学生带着问题去听课可以激发学生的学习积极性。

活动二：探究性质

如图，直线L垂直平分线段 AB，P1、P2、P3……是l上的点，分别量一量点P1、P2、P3……到点A 与点B的距离，你有什么发现？

线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上。

求证：PA =PB． 

证明：∵ l⊥AB，

∴∠PCA =∠PCB=90°．在△PCA和△PCB中

AC  CB

 PCA PCB

PC PC

 ∴△PCA ≌△PCB（SAS）． 

∴PA =PB． 

用符号语言表示为：

∵PC垂直平分AB（CA =CB，PC⊥AB），

∴PA =PB．

教师用多媒体展示探究问题，并提出问题．

先让学生量一下并猜想P1A与P1B 的数量关系，再量一 下并猜想P2A与P2B及P3A与P3B的数量关系．

指导学生总结归纳自己的发现．在上一活动的基础上，把学生总结出来的结论进一步完善，用多媒体展示 线段垂直平分线的性质。

在此基础上把这一命题转化成几 何上的证明题，证明过程用多媒体展台展示给学生，并根据证明过程全体师生进行分析指正。

证明完成后，老 师用多媒体展示线段垂直平分线的性质应用时的符号语言（即解题时的书写步骤），并强调学生 注意。

探究数量关系由学生独立思考．

总结归纳发现的规律分组讨论完成，但讨论时间不易过长，如果学生不能准确的归纳，老师可以适当提示。

学生独立完成证明过程。

通过观察、猜想、归纳并验证是数学学习的一种重要方法，通过这一活动可以提高学生观察、猜想及归纳能力． 

把线段垂直平分线的性质转化成几何证明过程是个难点，并不需要学生掌握，所以这一过程由老师完成． 

证明这一性质并不难由学生自己独立完成．

老师巡视完后对学生有问题的证明过程加以改正。

可以用展台展示多少有点问题的证明过程，在分析的过程中能让学生学会严密的证明方法．

活动 三：性质的应用

例1：如图，在△ABC中，已知AC=27，DE垂直平分AB，交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长。

解：∵DE垂直平分AB，

∴AE=BE．

∵BE+EC+BC=50， 

∴AE+EC+BC=50． 

即AC+BC=50． 

又∵AC=27， 

∴BC=23．

老师用多媒体展示问题，在学生理

解题意的基础上提问：

（1）已知中“DE垂直平分AB”这个条件能想到哪个重要定理：

（2）用上这个定理后能增加什么条件？

（3）你会写出应用这个定理的步骤吗？

回答完这些问题后要求学生自己独立思考并完成解答，老师用展台展示一个学生的解答过程，并与全体学生一起分析解答过程．

学生读题理解题意，并积极

回答老师提出的问题；独立完成解答并积极争取在展台展示自己的解答过程；积极配合老师分析

展示解答过程的问题．

这是本节的重点．几何上对

于一个重要定理应要求学生能在特定的图形和条件下想得到用这个重点定理，知道应用定理可以增加怎样的条件，做到解答过程中准确写出步骤．

这一活动就是围绕这样的目的开展的．

活动四：探究判定

把线段垂直平分线的性质反过来，如果PA=PB，那么点B是否在线段的垂直平分线上呢？

已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．

求证：P点在AB的垂直平分线上．

证明：过点P作PC⊥AB于C．

 ∴∠PCA=∠PCB=90°． 

在Rt△PAC和Rt△PBC中； 

PA  PB

PC  PC（公共边）

∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．

∴AC=BC． 

即P点在AB的垂直平分线上．总结：线段垂直平分线的质2与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

用符号语言表示为：

∵PA =PB，

∴点P在线段AB的垂直平分线上．

从上面两个结论可以看出：在线段AB垂直平分线上l的点与A、B的距离相等；反过来，与两点A、B的距离相等的点都在l上，所以直线l可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合．

老师提出问题并让学生大胆猜想点B在线段的垂直平分线上．

老师直接把命题转化成几何的证明题形式；

老师引导学生探究证明方法：

（1）我们不能同时把“在”、“垂直”和“平分”问题解决，那么我们先解决“在”和“垂直”的问题，引导学生添辅助线．

（2）引导学生怎样解决“平分”的问题．

（3）怎样证明AC=BC呢？最后的结论由老师来归纳总结，不安排学生活动．

但在符号语言的表示过程中应强调结论不能说成“PC是线段AB的垂直平分线”．

学生大胆猜想点B在线段AB的垂直平分线上；

小组讨论老师提出的问题

（1）．并由小组中的发言人回答老师的问题．

问题（2）、（3）由学生独立思考完成．

积极配合老师分析展台展示的证明过程中的得失．

这是本节的难点，“P点在AB的垂直平分线上”太抽象，既看不到又不好解决“在”的问题．所以设计了3个问题，问题（1）引导学生小组讨论先解决“在”和“垂直”的问题，这样也就自然引出了添辅助线及怎样添辅助线．

问题（2）与问题（3）难点并不高，让学生独立解决可以锻炼学生独立解决问题的能力．判定及“直线l可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合”，在以后的学习中有很重要的用处，但理解难度过高，不是本节所要解决的问题，由老师直接归纳．

强调符号语言表示性质2是由于很多不理解的学生会出现错误，同时又能让学生体会证明的严密性．

活动五：判定的应用

例2：如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？并说明理由．

解：是．

证明：

∵AB =AC，

∴点A 在BC 的垂直平分线．

∵MB =MC，

∴点M 在BC的垂直平分线上．

∴直线AM 是线段BC 的垂直平分线．

老师用多媒体展示问题，在学生理解题意的基础上提问：

（1）结合图形分析“AB =AC”这个条件可以用哪个重要定理，结论是什么？怎么写过程?

（2）结合图形分析“MB =MC”可以用哪个重要定理，结论是什么？怎么写过程?

（3）你能写出解答过程了吗？

老师巡视并展示1名学生的解答，

与全体学生一起分析．

独立思考并积极回答老师提出的问题．

在解决完问题的基础上独立完成解答过程．

积极争取展示机会．

这也是本节的一个重点．

设计3个问题是为了让学生

学会用这个重点定理，并指导学生几何问题的分析方法，这就相当一个示范，学生在模仿分析过程中提高学生独立分析问题、解决问题的能力．

展示学生的解答过程全体师生分析可以更好的规范几何问题的解决过程．

活动六：解决问题

在106国道某段的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？

只要求学生知道建在什么位置，不要求学生学会作图．

设计这一节课教学的结束语“你们知道医院应选在图上什么位置，但你能用尺规作图在图中准确的作出这个位置吗？我们下一节来解决这个问题．”

积极思考并回答这个问题．

这既是与开篇时的呼应又为下一节的学习埋下了伏笔，让学生有一种强烈的愿望去学下一节课，提高学生的学习兴趣．

活动七：感想与收获

1、小结：本节课你有哪些收获？

2、课后练习：如图，已知在△ABC中，ON是AB的垂直平分线， 并且OA =OC，求证：O点在BC的垂直平分线上。

3、作业：教科书习题13.1

第6、9题．

多媒体展示，并指导学生回答收获．

积极回答自己的感受及收获．

让学生理解这节课的重点．

板书设计

13.1.2 线段垂直平分线的性质

性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

用符号语言表示为：

∵PC垂直平分

AB（CA =CB，PC⊥AB），

∴PA =PB．

判定：

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

用符号语言表示为：

∵PA =PB，

∴点P在线段AB的垂直平分线上．