专题28 双曲线（讲义）-2023年高考一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第28讲  双曲线学校____________          姓名____________          班级____________一、知识梳理1.双曲线的定义一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距.其数学表达式：集合M＝{P|||PF1|－|PF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)若a<c，则点P的轨迹为双曲线；(2)若a＝c，则点P的轨迹为两条射线；(3)若a>c，则点P的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图　形性　质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2 二、考点和典型例题1、双曲线的定义和标准方程【典例1-1】已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，，则，结合条件可知，双曲线的标准方程为.故选：C.【典例1-2】在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（       ）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：如图设与圆的切点分别为、、，则有，，，所以．根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），即、，又，所以，所以方程为．故选：A．【典例1-3】已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（       ）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【详解】由，得，则，所以左焦点为，右焦点，则由双曲线的定义得，因为点在双曲线的两支之间，所以，所以，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为9，故选：A【典例1-4】已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】在双曲线中，，，,∵，∴，又，∴,故选:A【典例1-5】已知，分别是双曲线的左右焦点，点P在该双曲线上，若，则（       ）A．4 B．4或6 C．3 D．3或7【答案】D【详解】由双曲线定义知：，而，又且，∴3或7，故选：D.  2、双曲线的性质【典例2-1】已知双曲线（a、b均为正数）的两条渐近线与直线围成的三角形的面积为，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．2【答案】D【详解】解：双曲线的渐近线为，令，可得，不妨令，，所以，所以，，即，所以，所以；故选：D【典例2-2】椭圆：与双曲线：的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（       ）A．， B．， C．， D．，【答案】D【详解】因为椭圆：与双曲线：的离心率之积为1，所以有，因此双曲线的两条渐近线方程为：，所以双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，，故选：D【典例2-3】若双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，则双曲线的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为                                          （       ）A． B．6 C． D．8【答案】C【详解】双曲线的一条渐近线方程为，由两直线垂直得，，，所以双曲线的焦点坐标为，虚轴一个顶点坐标为，故选：C【典例2-4】已知点是双曲线的右焦点，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若△OMF（点O为坐标原点）的面积为8，则C的实轴长为（       ）A．8 B． C．6 D．【答案】A【详解】由题意可得．取渐近线，易知点到直线的距离为b，则，所以，联立得．所以C的实轴长为8．故选：A【典例2-5】已知点P是双曲线上的动点，过原点O的直线l与双曲线分别相交于M、N两点，则的最小值为（       ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【详解】解：根据双曲线的对称性可知为的中点，所以，又在上，所以，当且仅当在双曲线的顶点时取等号，所以．故选：C  3、双曲线的综合应用【典例3-1】双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为米，上口半径为米，下口半径为米，高为24米，则该双曲线的离心率为（ ）A．2 B． C． D．【答案】A【详解】以的中点О为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设双曲线的方程为，则，可设，，又由，在双曲线上，所以，解得，，即，所以该双曲线的离心率为.故选：A.【典例3-2】双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为，分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后（，A，B在同一直线上），满足，则该双曲线的离心率的平方为（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】易知共线，共线，如图，设，则.因为，所以，则，则，又因为，所以，则,在中，，即，所以.故选：D【典例3-3】求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在x轴上，实轴长为4，实半轴长是虚半轴长的2倍；(2)焦点在y轴上，渐近线方程为，焦距长为．【答案】(1)(2)【解析】(1)由题意有，解得：，则双曲线的标准方程为：．(2)由题意有，解得：，则双曲线的标准方程为：．【典例3-4】已知双曲线的渐近线方程为，且过点．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长．【答案】(1)；(2).【解析】(1)由双曲线方程知：渐近线斜率，又渐近线方程为，；双曲线过点，；由得：，双曲线的方程为：；(2)由（1）得：双曲线的焦点坐标为；若直线过双曲线的左焦点，则，由得：；设，，则，；由双曲线对称性可知：当过双曲线右焦点时，；综上所述：.【典例3-5】双曲线的离心率为，虚轴的长为4.(1)求的值及双曲线的渐近线方程；(2)直线与双曲线相交于互异两点，求的取值范围.【答案】(1)，，双曲线的渐近线方程为和；(2).【解析】(1)因为双曲线的离心率为，所以有，而该双曲线的虚轴的长为4，所以，所以，因此双曲线的浙近线方程为：或；(2)由（1）可知：，，所以该双曲线的标准方程为：，与直线联立得：，因为直线与双曲线相交于互异两点，所以有：且，所以的取值范围为：.