专题30 圆锥曲线的综合应用（讲义）-2023年高考一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第30讲  圆锥曲线的综合应用学校____________          姓名____________          班级____________一、知识梳理1.判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1)当a≠0时，则Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离.(2)当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合.2.对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.3.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率.4.弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：①|AB|＝|x1－x2|＝；②|AB|＝|y1－y2|(k≠0)＝. 二、考点和典型例题1、直线与圆锥曲线的位置关系【典例1-1】直线与椭圆的位置关系是（       ）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【典例1-2】过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（       ）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【典例1-3】斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形的面积是（O为坐标原点）（       ）A． B． C． D．【典例1-4】（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点P是双曲线C右支上异于顶点的一点，则（       ）A．若双曲线C为等轴双曲线，则直线的斜率与直线的斜率之积为1B．若双曲线C为等轴双曲线，且，则C．若P为焦点关于双曲线C的渐近线的对称点，则C的离心率为D．延长交双曲线右支于点Q，设与的内切圆半径分别为、，则【典例1-5】（多选）已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，，下列说法正确的是（       ）A． B．当时，C．当时，直线的斜率为2 D．面积的最小值为4  2、中点弦及弦长问题【典例2-1】（2022·江苏·高二）已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（       ）A． B． C． D．【典例2-2】（2022·内蒙古·赤峰二中高二阶段练习（文））已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为(       )A． B． C． D．【典例2-3】（河南省新乡市2021-2022学年高二下学期期末数学文科试题）已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（       ）A． B．3 C． D．－3【典例2-4】（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆与直线交于、两点，且，为的中点，若是直线上的点，则（       ）A．椭圆的离心率为 B．椭圆的短轴长为C． D．到的两焦点距离之差的最大值为【典例2-5】（多选）（2021·江苏省灌云高级中学高二阶段练习）过M（1，1）作斜率为2的直线与双曲线相交于A、B两点，若M是AB的中点，则下列表述正确的是（       ）A．b<a B．渐近线方程为y=±2xC．离心率 D．b>a3、圆锥曲线的综合应用【典例3-1】（2022·北京·北大附中三模）已知椭圆经过点.(1)求椭圆的方程及其离心率；(2)若为椭圆上第一象限的点，直线交轴于点，直线交轴于点，且有，求点的坐标.     【典例3-2】（2022·陕西咸阳·二模（文））已知抛物线，过焦点F作x轴的垂线与抛物线C相交于M、N两点，.(1)求抛物线C的标准方程；(2)若A、B两点在抛物线C上，且，求证：直线的垂直平分线l恒过定点.            【典例3-3】（2021·湖南·模拟预测）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为（1）求双曲线的标准方程；（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.            【典例3-4】（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.（1）求抛物线的标准方程；（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.           【典例3-5】（2022·全国·高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面积．