专题29 抛物线（讲义）-2023年高考一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第29讲   抛物线学校____________          姓名____________          班级____________一、知识梳理1.抛物线的定义(1)一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px (p>0)y2＝－2px (p>0)x2＝2py (p>0)x2＝－2py (p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下 二、考点和典型例题1、抛物线的定义和标准方程【典例1-1】过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则的值为（       ）A． B．2 C． D．【答案】C【详解】如图所示，设，，因为，所以点到准线的距离为3，所以，得，因为，所以，所以，得，所以的值为，故选：C【典例1-2】抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（       ）A． B． C． D．2【答案】A【详解】由题意知，焦点坐标为，准线方程为，由到焦点距离等于到准线距离，得，则，，可得，故选：A.【典例1-3】已知抛物线上的一点到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为（       ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【详解】由题可知，抛物线准线，可得，解得，所以该抛物线的焦点到其准线的距离为.故选：A.【典例1-4】焦点在直线上的抛物线的标准方程为（       ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【详解】解：直线与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，-3），当以（4，0）为焦点时，抛物线的标准方程为，当由（0，-3）为焦点时，抛物线的标准方程为，故选：B【典例1-5】已知直线恒过定点，抛物线：的焦点坐标为，为抛物线上的动点，则的最小值为（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】方程可化为，所以直线恒过定点，因为抛物线：的焦点坐标为，所以，即，所以，过点作准线，垂足为，则，过点作准线，垂足为， 所以，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为3，故选：C.   2、抛物线的几何性质及应用【典例2-1】对抛物线，下列描述正确的是（       ）A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为【答案】A【详解】由题知，该抛物线的标准方程为，则该抛物线开口向上，焦点坐标为.故选：A.【典例2-2】已知过点的直线与抛物线相交于，两点，点，若直线，的斜率分别为，，则的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为过点的直线与抛物线相交于，两点，所以可设，，直线的方程为：，由得，因此，，且，又直线，的斜率分别为，，点，所以，，因此，当时，；当时，，且，当且仅当，即时，等号成立；所以；当时，，且，当且仅当，即时，等号成立；所以，综上.故选：C.【典例2-3】抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧上不同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【详解】解：如图，可得圆心也是抛物线的焦点，过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得故的周长，由可得，.的取值范围为的周长的取值范围为故选：.【典例2-4】已知圆与抛物线相交于M，N，且，则（       ）A． B．2 C． D．4【答案】B【详解】因为圆与抛物线相交于M，N，且，由对称性，不妨设，代入抛物线方程，则，解得，所以，故故选：B【典例2-5】已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则（       ）A．4 B．8 C．10 D．16【答案】B【详解】以为圆心，半径为5的圆的方程为,由抛物线，得到抛物线关于x轴对称，又∵上面的圆的圆心在x轴上，∴圆的图形也关于x轴对称，∴它们的交点A,B关于x轴对称，因为|AB|=8，∴A,B点的纵坐标的绝对值都是4，∵它们在抛物线上，于是A点的横坐标的值,不妨设A在x轴上方，则A点的坐标为,又∵A在圆上，∴,解得,故选：B.  3、抛物线的综合问题【典例3-1】已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值的为（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意知：，；，，；令，则，，则当，即时，取最大值，此时.故选：C.【典例3-2】如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（       ）A．23 B．26 C．36 D．62【答案】B【详解】解法一：设抛物线的方程，则，得，所以抛物线方程为，焦点，圆，圆心，半径，可得圆心恰好是抛物线的焦点，即直线l过焦点F.设直线l的方程为：，设P、Q坐标分别为和，由联立，得，∴，，∴，，，当且仅当，即，时取等号.解法二：，又，，当且仅当，即，时等号成立.故选：B.【典例3-3】已知直线l过点，且垂直于x轴．若l被抛物线截得的线段长为，则抛物线的焦点坐标为（       ）A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，，显然，解得，故，解得，故抛物线，焦点坐标为故选：A【典例3-4】已知点在抛物线上.(1)求抛物线C的方程；(2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求证：为定值.【解析】(1)∵点在抛物线C上，∴，解得，∴抛物线C的方程为.(2)证明：设直线，，，联立，消去y可得，，由韦达定理有，，∴，即得证.【典例3-5】已知抛物线的焦点为，为坐标原点．(1)过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；(2)抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．【答案】(1)(2)【解析】(1)由抛物线方程知：，为抛物线的通径，则，，解得：，抛物线的标准方程为：.(2)为正三角形，，由抛物线对称性可知：轴，设，则，解得：，，，，解得：，，即的边长为.