人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）背景图ppt课件

课题名

4.5.1函数的零点与方程的解

教学目标

1.理解零点的概念；

2.了解函数的零点与方程根的联系，能利用函数零点与方程根的关系确定方程根的个数；

3.能够利用零点的存在解决含参问题．

教学重点

理解零点的概念

教学难点

能够利用零点的存在解决含参问题

教学准备

教师准备：幻灯片、黑板、投影

学生准备：笔、纸、课本

教学过程

一、 新课引入

问题1  求下列方程的根．

（1）；

（2）；

（3）

思考:方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系?

1.方程根的个数和对应函数与x轴交点个数相同.

2.方程的根是函数与x轴交点的横坐标.

3.若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与x轴无交点.

二、讲授新课

零点

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

函数的零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条  连续不断        的曲线，并且有f(a)·f(b)<0 ，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内  至少有一个零点 ，即存在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

思考2：(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？

(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)<0?

    (1)只能判断有无零点，不能判断零点的个数．

(2)不一定，如f(x)＝x2在区间(－1,1)上有零点0，

但是f(－1)f(1)＝1×1＝1>0.

【小试牛刀】

思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)f(x)＝x2的零点是0.(　　)

(2)若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点． (　　)

(3)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．(　　)

(4)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0. (　　)

   (1)√　(2)×　(3) √　(4)×

题型一　求函数的零点(方程的根)

点拨: 函数零点的求法

(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．

(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．

例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1)f(x)＝－x2－4x－4；

(2)f(x)＝；

(3)f(x)＝4x＋5；

(4)f(x)＝log3(x＋1)．

   解：(1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，

所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝－2.

(2)令＝0，解得x＝1，

所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝1.

(3)令4x＋5＝0，显然方程4x＋5＝0无实数根，

所以函数f(x)不存在零点．

(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数f(x)存在零点，

且零点为x＝0.

【跟踪训练】1  

已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点，则f(1)＝_ －6 _.

题型二　判断零点所在的区间

点拨：判断函数零点所在区间的三个步骤：

1.将区间端点代入函数求出函数的值.

2.把所得函数值相乘，并进行符号判断.

3.若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点，若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少有一个零点.

例2  f(x)＝lnx＋x3－9的零点所在的区间为(　A 　)

A．(0,1) B．(1,2)

C．(2,3) D．(3,4)

【跟踪训练】2

若函数f(x)＝x＋(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是(　A.　)

A．－2　　　　 B．0　　　　

C．1　　   D．3

题型三　函数零点个数的判断

点拨：1.判断零点的个数时 由fx＝gx－hx＝0，得gx＝hx，在同一坐标系中作出y1＝gx和y2＝hx的图象，利用图象判定方程根的个数.

2.已知零点个数求参数时 画出函数图象，将函数零点问题转化为图象交点问题，从而确定参数的范围.

例3 函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(B.)

A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4

【跟踪训练】3 若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是  (0,2)     。

三、课堂小结

1.零点的概念

   对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x) 的零点.

2.函数的零点与方程根的联系

3.零点的存在性定理

四、达标检测

1.（多选）若函数f(x)的图像在R上连续不断，且满足f(x) <0，f(1) >0，f(2) >0，则下列说法错误的是（ ABD   ）

A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点

B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点

C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点

D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点

2.函数f(x)＝4x－6的零点是(　C 　)

A．　　      B．(，0)         C．　　   D．－

3.函数f(x)＝x－2＋log2x，则f(x)的零点所在区间为( B　)

A．(0,1)       B．(1,2)          C．(2,3)    D．(3,4)

4.已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下x，f(x)的对应值表：

则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　B　)

A．2个        B．3个         C．4个      D．5个

5.二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有_2 __个零点．

6.求函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数．

解：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.

令y1＝log2x，y2＝x－2.

画出两个函数的大致图象，如图所示．

有两个不同的交点．所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．

布置作业

完成对应课后练习

板书设计

1.零点的概念

2.函数的零点与方程根的联系

3.零点的存在性定理

教学反思

学生基本能掌握本次内容，不过学生还是会在求零点个数时忽略定义域导致零点出错。