高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质课堂教学ppt课件

课题名

5.4.1正弦函数、余弦函数的图象

教学目标

1. 理解并掌握用单位圆作正弦函数以及作余弦函数的图象的方法；

2.通过利用y=sinx, x∈R的图象，作出y=cosx,x∈R的图象的方法;

教学重点

正弦函数、余弦函数的图象的画法及应用

教学难点

正弦函数与余弦函数图象间的关系

教学准备

教师准备：幻灯片、黑板、投影

学生准备：笔、纸、课本

教学过程

一、 新课引入

将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆(如图(1)所示).在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.图(2)就是某个简谐运动的图象.

【想一想】　通过上述实验，你对正弦函数、余弦函数图象的直观印象是怎样的？

提示：正、余弦函数的图象是“波浪起伏”的连续光滑曲线.

【探究1】从画函数，∈［０，２π］的图象开始．在［０，２π］上任取一个值，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值并画出点T（，）？

【提示】在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴的交点为A（１，０）．在单位圆上，将点A绕着点O旋转弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标．由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T（，）.

【探究2】若把x轴上从０到２π这一段分成１２等份，使的值分别为, , ,…2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，你能否按上述画点T（，）的方法，画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点？

【提示】作出12个点，如图所示，

【探究3】如何作出函数， ∈［0,2π］的图象？

【提示】利用信息技术，可使在区间［0,2π］上取到足够多的值而画出足够多的点T（，）,将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数， ∈［0,2π］的图象.

【设计意图】通过探究，作出正弦函数的图象，深化对正弦函数的定义的理解，提高学生概括推理的能力

二、讲授新课

【思考1】根据函数， ∈［0,2π］的图象，你能作出函数， ∈R 的图象吗？

【提示】由诱导公式一可知，函数， ∈ ［２kπ，２（k＋１）π ］ ，k∈Z且k≠０的图象与， ∈［0,2π］的图象形状完全一致．因此将函数， ∈［0,2π］的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数， ∈R的图象。

正弦函数的图象

正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．

【思考2】在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？

【提示】　观察图，在函数， ∈［0,2π］的图象上，以下五个点：

【思考3】你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？

【提示】对于函数， 由诱导公式 得，∈R ．而函数∈R 的图象可以通过正弦函数， ∈R 的图象向左平移个单位长度而得到．所以，将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象

余弦函数的图象：

【设计意图】通过探究让学生获得五点法作图的简便画法，提升直观想象的核心素养。

1.“五点法”作正弦、余弦函数的图象

例1. 用“五点法”作出下列函数的简图．

(1)y＝1＋sin x，x∈[0,2π]；

(2)y＝-cos x，x∈[0,2π].

【解析】　

(1)列表：

描点连线 ：

(2)列表：

描点连线，如图

【类题通法】

简单三角函数图像画法

1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.

2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换.

【巩固练习1】画出函数y＝|sinx|，x∈R的简图．

【解析】【方法一】】按三个关键点列表：

描点并将它们用光滑的曲线连接起来．

【方法二】先作出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，使x轴上方图象不变，x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，再进行左右平移，每次个单位，得到y＝|sinx|，x∈R的图象。

2.正弦函数、余弦函数图象的简单应用

例2　求函数f(x)＝lg sin x＋的定义域.

【解析】由题意，得x满足不等式组即

作出y＝sin x的图象，如图所示.

结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π).

例3.　在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数.

【解析】建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象.

描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示.

由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个

【类题通法】

正弦函数、余弦函数图象的简单应用

1.解不等式问题：三角函数的定义域或不等式可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.

2.方程的根(或函数零点)问题：三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用.

【巩固练习2】1.函数y＝的定义域为_________________________________.

【解析】　由题意知，自变量x应满足2sin x－1≥0，

即sin x≥.由y＝sin x在[0,2π]的图象，可知≤x≤π，

可得y＝的定义域为，k∈Z.

【答案】　，k∈Z

二、          课堂小结

四、达标检测

1．（多选）以下对于正弦函数y＝sin x的图象描述正确的是(　　)

A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同

B．关于x轴对称

C．介于直线y＝1和y＝－1之间

D．与y轴仅有一个交点

2．用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是(　　)

A．0，，π，，2π　　     　B．0，，，，π

C．0，π，2π，3π，4π          D．0，，，，

3．函数y＝cos x与函数y＝－cos x的图象(　　)

A．关于直线x＝1对称               B．关于原点对称

C．关于x轴对称                    D．关于y轴对称

4．方程x2－cos x＝0的实数解的个数是__________．

答案：1.ACD    2.B     3.C    4.C       5.2

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

布置作业

完成对应课后练习

板书设计

教学反思

学生对于五点法的五点的取值还是理解的不到位，导致作图出错。