第4章 指数函数与对数函数-综合检测2（培优卷）-高一数学阶段性复习精选精练（人教A版2019必修第一册）
展开第4章 指数函数与对数函数
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．在下面四个等式运算中，正确的是
A． B．
C． D．
【试题来源】北京市第四中学2021-2022学年高一上学期期中数学测试题
【答案】B
【解析】，A错误；
，B正确；
，C错误；
，D错误．故选B．
2．若实数x、y满足（，且），则的值为
A． B．2
C． D．1
【试题来源】沪教版（2020） 必修第一册 达标检测 期中测试
【答案】D
【解析】由已知，，所以，，
所以，，得．
故选D．
3．三个数，，的大小顺序是
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省广州市仲元中学2020-2021学年高一上学期期末
【答案】C
【解析】因为，，，，
又函数在内单调递增，
所以，即．故选C．
4．已知函数与函数的图象有两个交点，交点的横坐标分别为m、n，则以下结论中正确的是
A． B．
C． D．
【试题来源】沪教版（2020） 必修第一册 达标检测 第四章
【答案】B
【解析】不妨设，则两式相减，
得，
所以．故选B．
5．若a､b､c都是正数，且，那么
A． B．
C． D．
【试题来源】湖北省腾云联盟2021-2022学年高三上学期10月联考
【答案】D
【解析】由于，，都是正数，故可设，
，，，则，，．
，，即，去分母整理得，．
所以ABC不正确，D正确，故选D．
6．若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值可以是
A． B．
C．2 D．4
【试题来源】黑龙江省佳木斯市第一中学2021-2022学年高一上学期期中
【答案】A
【解析】画出两个函数在同一坐标系下的图象，
若有两个交点，则，故选A
7．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是
A． B．
C． D．
【试题来源】浙江省舟山中学2021-2022学年高一上学期期中
【答案】D
【解析】由函数（其中）的图象可得，
所以，所以排除BC，
因为，所以为增函数，所以排除A，故选D
8．已知时，当时，满足，则关于以下两个结论正确的判断是
①函数只有一个零点；
②函数的零点必定在区间（a，b）内．
A．①②均对 B．①对，②错
C．①错，②对 D．①②均错
【试题来源】沪教版（2020） 必修第一册 达标检测 第五章 5．3 函数的应用
【答案】B
【解析】因为和均为区间上的严格增函数，
因此函数也是区间上的严格增函数，且，．
所以只有一个零点，①对．
因为，
所以的符号为两正一负或者全负，因为，
所以必有，，或者，，．
当，，时，零点在区间内；当，，时，零点在区间（a，b）内，所以②错．故选B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若，且，，，且，则下列各式不恒成立的是
①；②；
③；④．
A．① B．②
C．③ D．④
【试题来源】福建省莆田第七中学2020-2021学年高一上学期第二次月考
【答案】AC
【解析】若x<0，则①错误；
易知，则，所以，②正确；
若x<0，y<0，则③错误；
因为，所以，所以，④正确．
故选AC．
10．已知，，则
A． B．
C． D．
【试题来源】2021-2022学年高一数学链接教材精准变式练（苏教版2019必修第一册）
【答案】ABD
【解析】由，得．
，故B正确；
由，，且得，故A正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选ABD．
11．给出下列四个命题，其中所有正确命题的选项是
A．函数的图象过定点
B．化简的结果为25
C．已知函数（且）在上是减函数，则实数a的取值范围是
D．若（，），则
【试题来源】广东省汕头市潮师高级中学2020-2021学年高一下学期第一次月考
【答案】BD
【解析】对于A，函数的图象过定点，A错，
对于B，，B对，
对于C，由函数（且）在上是减函数，
可得，且，所以，故C错误；
对于D，令，若，则，即，又，在上单减，所以，所以故D对，故选BD．
12．已知函数，若方程有三个实数根，，，且，则
A． B．实数a的取值范围为
C．的取值范围为 D．的解集为
【试题来源】湘教版（2019） 必修第一册 突围者 第4章 全章综合检测
【答案】ACD
【解析】由题意方程有三个实数根，，，
则函数的图象与直线有三个交点，且横坐标分别为，，．
作出函数的图象和直线如图所示：
由图可知，，所以，故A正确；
由于，所以，故B错误；
由，得，所以，所以，故C正确；
当时，由，即，得，
当时，由，即，得，
故的解集为，故D正确．故选ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的单调递增区间为__________．
【试题来源】陕西省西安中学2021-2022学年高一上学期期中
【答案】
【解析】令，则，
因为为上的增函数，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为．
故答案为．
14．已知，，定义，则__________．
【试题来源】沪教版（2020） 必修第一册 达标检测 第三章 3．1 幂与指数
【答案】
【解析】．
故答案为
15．已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数f(x)=x-[x]．有下列结论：
①函数的图象是一条直线；②函数f(x)的值域为[0，1)；③方程f(x)=有无数个解；④函数是R上的增函数．其中正确的是__________．(填序号)
【试题来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2021-2022学年高一上学期期中
【答案】②③
【解析】画出函数的图象，如图所示，可以看出函数的图象不是一条直线，故A错误；函数f(x)的值域为，故②正确；方程有无数个解，③正确；函数是分段函数，且函数不是R上的增函数，故④错误．
故答案为②③
16．已知，设，若，则的取值范围是__________．
【试题来源】沪教版（2020） 必修第一册 达标检测 第五章 章测试
【答案】
【解析】作出函数在区间（0，1）与上的图象，如图所示：
若，满足，则必有，，且，即，所以，，令，，则．设，可得，因此所求取值范围是．
故答案为．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
化简与求值．
（1）化简：（，）；
（2）已知，求的值．
【试题来源】北师大版（2019） 必修第一册 突围者 第三章 全章综合检测
【答案】（1），（2）
【解析】（1）因为，，
所以．
（2）因为，所以，即，
又，
而，所以，
故．
18．（12分）
（1）计算；
（2）已知，，求的值．
【试题来源】北京市大兴区2021-2022学年高一上学期期中考试
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
（2）因为，，所以
19．（12分）
在飞机制造业中，发现一条规律：制造第2架飞机所需的工时数是第1架的80%；第4（即）架又是第2架的80%；第8（即）架又是第4架的80%；……这就是说，通过积累经验，可以提高效率．这也是符合学习规律的，这里的80%称为“进步率”，所制造的飞机架数与所需工时数之间的函数关系所确定的曲线常称为“学习曲线”．设制造第1架飞机需要用k个工时，进步率为r，试求出制造第x架飞机与需用的工时数y之间的函数表达式．
【试题来源】沪教版（2020） 必修第一册 达标检测 第五章 5．3 函数的应用
【答案】
【解析】由题意，可知第1架用k个工时，第2架用kr个工时，第架用个工时，……第架用个工时．
令，则，
因此，
所以制造第x架飞机与需用的工时数y之间的函数表达式为．
20．（12分）
设正整数a、b、c满足：对任意的正整数n，都有成立．
（1）求证：；
（2）求出所有满足题设的a、b、c的值．
【试题来源】沪教版（2020） 必修第一册 达标检测 第三章 章测试
【答案】（1）证明见解析，（2）
【解析】（1）当时，，则．
因为，所以，
所以，即成立．
（2）不妨设，易得．
若，则，，故，解得，与n为任意的正整数矛盾．
若，则．故，，从而．
因为，所以或2．
当时，，而，矛盾，故舍去；
当时，，从而，，所以
21．（12分）
函数．
（1）当时，求函数在区间上的最值；
（2）已知方程的两个实数根，，满足，求实数的取值范围．
【试题来源】广东省深圳市深圳中学2021-2022学年高一上学期期中
【答案】（1）最小值为-5，最大值为-1，（2）
【解析】（1）设，由可得，
故所求即为在上的最值，
该函数为开口向上的二次函数，且对称轴为
故的最小值为，最大值为，
所以，当时，取得最小值为；
当时，取得最大值为．
（2）所求即为方程的两个实数根，，
满足，设
可得，即，解得，
实数的取值范围为．
22．（12分）
已知函数，，其中且．
（1）求；
（2）若对于，恒成立，求实数a的取值范围．
【试题来源】沪教版（2020） 必修第一册 达标检测 第四章
【答案】（1）0，（2）
【解析】（1）由，得定义域．
对于，．
原式．
（2）由，可得，
又恒成立．
当时，，
要使题中不等式恒成立，则，
易得，即，解得；
当时，，
要使题中不等式恒成立，则，
易得，即，
解得或．所以．
综上所述，．
