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初中数学苏科版九年级上册2.6 正多边形与圆课时训练
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这是一份初中数学苏科版九年级上册2.6 正多边形与圆课时训练，共24页。试卷主要包含了边长为2的正六边形的面积为等内容，欢迎下载使用。
2.6正多边形和圆同步达标测试题
1．已知正六边形的边长是2，则该正六边形的边心距是（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（ ）
A．正五边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十八边形
3．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，过点O作OM⊥边BC于点M，若⊙O的半径为4，则边心距OM的长为（ ）
A． B． C．2 D．
4．边长为2的正六边形的面积为（ ）
A．6 B．6 C．6 D．
5．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（ ）
A．cm B．5cm C．3cm D．10cm
6．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠BOQ＝ ．
7．已知正六边形的半径是4，则这个正六边形的周长为 ．
8．若一个正六边形的周长为24，则该六边形的面积为 ．
9．已知⊙O的内接正六边形的边心距为，则⊙O的周长为 ．
10．已知正六边形的半径是3，则这个正六边形的边长是 ．
11．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．
（1）求∠CPD的度数；
（2）当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
12．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA＝PB+PC；
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．
13．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD＝5cm，求⊙O的半径R．
14．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG＝CH，AG交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；
（2）求∠APH的度数．
15．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：
（1）通过计算（结果保留根号与π）．
（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 cm；
（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；
（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；
（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．
16．阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：AB•r1+AC•r2＝AB•h，∴r1+r2＝h
（1）理解与应用
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，试证明：．
（2）类比与推理
边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于 ；
（3）拓展与延伸
若边长为2的正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边的距离为r1，r2，…rn，请问r1+r2+…rn是否为定值（用含n的式子表示），如果是，请合理猜测出这个定值．
17．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
18．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为任意一点，连接DE、AE．
（1）求∠AED的度数．
（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的长度．
19．如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
（1）求图1中∠APN的度数是 ；图2中，∠APN的度数是 ，图3中∠APN的度数是 ．
（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案） ．
20．如图，⊙O的周长等于 8πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O．
（1）求圆心O到AF的距离；
（2）求正六边形ABCDEF的面积．
21．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
22．如图，⊙O外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且AP＝1，PC＝3，求正方形ABCD的边长和PB的长．
23．中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；
（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．
24．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；
（2）填空：
①当t＝ s时，四边形PBQE为菱形；
②当t＝ s时，四边形PBQE为矩形．
25．如图，以△ABC的一边AC为直径的⊙O交AB边于点D，E是⊙O上一点，连接DE，∠E＝∠B．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠E＝45°，AC＝4，求⊙O的内接正四边形的边长．
参考答案
1．解：已知正六边形ABCDEF的边长为2cm，连接OA，作OM⊥AB，得到∠AOM＝30°，因而AM＝AB＝×2＝1cm．
正六边形的边心距是OM＝＝＝（cm）．
故选：B．
2．解：由题意可得：
边数为360°÷36°＝10，
则这个多边形是正十边形．
故选：C．
3．解：如图，连接OB、OC．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，OB＝OC＝4，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝4，
∵OM⊥BC，
∴BM＝CM＝2，
在Rt△OBM中，OM＝＝＝2，
故选：A．
4．解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝×360°＝60°，
∵OB＝0C，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝2，
∴它的半径为2，边长为2；
∵在Rt△OBH中，OH＝OB•sin60°＝2×，
∴边心距是：；
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6××2×＝6．
故选：A．
5．解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB交AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝OA＝（cm），
∴AC＝2AN＝15（cm），
∴GH＝AC＝5（cm），
故选：B．
6．解：连接OA，OD，
∵△PQR是⊙O的内接正三角形，
∴PQ＝PR＝QR，
∴∠POQ＝×360°＝120°，
∵BC∥QR，OP⊥QR，
∵BC∥QR，
∴OP⊥BC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴OP⊥AD，∠AOD＝90°，
∴＝，
∴∠AOP＝∠DOP，
∴∠AOP＝×90°＝45°，
∴∠AOQ＝∠POQ﹣∠AOP＝75°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠QOB＝15°，
故答案为：15°．
7．解：正六边形的半径为2cm，则边长是4，因而周长是4×6＝24．
故答案为：24．
8．解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，
∴∠BOC＝×360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∵正六边形ABCDEF的周长为24，
∴BC＝24÷6＝4，
∴OB＝BC＝4，
∴BM＝BC＝2，
∴OM＝＝2，
∴S△OBC＝×BC×OM＝×4×2＝4，
∴该六边形的面积为：4×6＝24．
故答案为：24．
9．解：如图所示，连接OA、OB，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OAM＝60°，
∴OM＝OA•sin∠OAM，
∴OA＝＝＝2，
∴⊙O的周长为4π，
故答案为：4π．
10．解：如图所示，连接OB、OC，
∵此六边形是正六边形，
∴∠BOC＝＝60°，
∵OB＝OC＝3，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝3，
故答案为：3．
11．解：（1）连接OD，OC，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠DOC＝90°．
∴；
（2）连接PO，OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠COB＝90°，
∵点P为BC的中点，
∴＝，
∴，
∴n＝360÷45＝8．
12．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，
连接CE．∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∵∠BPC+∠EPC＝180°，
∴∠BAC＝∠CPE＝60°，PE＝PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE＝PC，∠E＝60°；
又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，
∴∠BCE＝∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，
∴CE＝PC，AC＝BC，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA＝BE＝PB+PC．
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°
∴∠1＝∠3，
∴∠APB＝45°，
∴BP＝BE，∴；
又∵AB＝BC，
∴△ABE≌△CBP，
∴PC＝AE．
∴．
（3）答：；
证明：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ＝PC，
连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，
∴△ABQ≌△CBP，
∴BQ＝BP．
∴MP＝QM，
又∵∠APB＝30°，
∴cos30°＝，
∴PM＝PB，
∴
∴
13．解：连接OB，OC，OD，
∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC＝×360°＝120°，∠BOD＝×360°＝30°，
∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝45°，
∴OC＝CD•cos45°＝5×＝5（cm）．
即⊙O的半径R＝5cm．
14．（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，
AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°，
在△ABG与△BCH中，
∴△ABG≌△BCH；
（2）解：由（1）知：△ABG≌△BCH，
∴∠BAG＝∠HBC，
∴∠BPG＝∠ABG＝120°，
∴∠APH＝∠BPG＝120°．
15．解：（1）（Ⅰ）连接BD，
∵AD＝3×5＝15cm，AB＝5cm，
∴BD＝＝cm；
（Ⅱ）如图所示，
∵三个正方形的边长均为5，
∴A、B、C三点在以O为圆心，以OA为半径的圆上，
∴OA＝＝5cm，
∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为10cm；
（Ⅲ）如图所示，
∵CE⊥AB，AC＝BC，
∴AD是过A、B、C三点的圆的直径，
∵OA＝OB＝OD，
∴O为圆心，
∴⊙O的半径为OA，
OA＝＝5cm，
∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为5×2＝10cm；
（2）如图④为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，
连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，
设OG＝x，则OP＝10﹣x，
则有：，
解得：，（8分）
则ON＝，
∴直径为．
16．解：（1）分别连接AP，BP，CP，作AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝90°，
∵△ABC是等边三角形
∴AB＝BC＝AC＝2，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝1，在Rt△ABD中，由勾股定理，得
∴AD＝
∵S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC．
∴AB•r1+BC•r2+AC•r3＝BC×AD，
∵BC＝AC＝AB，
∴r1+r2+r3＝AD．
∴r1+r2+r3＝
（2）如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝2．
∵PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥DC，PH⊥AD，
∴四边形PEBF是矩形，四边形PFCG是矩形，四边形PGDH是矩形，四边形PHAE是矩形，
∴PE＝AH，PF＝BE，PG＝HD，PH＝AE，
∴PE+PF+PG+PH＝AH+BE+HD+AE＝AD+AB＝4．
故答案为4．
（3）设正n边形的边心距为r，且正n边形的边长为2，
∴S正n边形＝×2×r×n．r＝，
∵S正n边形＝×2×r1+×2×r2+×2×r1+…+×2×rn，
∴×2×r1+×2×r2+×2×r1+…+×2×rn＝×n，
∴r1+r2+…+rn＝nr＝（为定值）．
17．解：（1）连接OB，OC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BOC＝90°，
∴∠P＝∠BOC＝45°；
（2）过点O作OE⊥BC于点E，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴∠OBE＝45°，
∴OE＝BE，
∵OE2+BE2＝OB2，
∴BE＝＝＝4
∴BC＝2BE＝2×4＝8．
解法二：如图，连接BD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
∴∠CBD＝45°，
∴BC＝BD•cos45°＝16×＝8．
18．解：（1）如图1中，连接OA、OD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD＝90°，
∴∠AED＝∠AOD＝45°．
（2）如图2中，连接CF，CE，CA，BD，作DH⊥AE于H．
∵BF∥DE，AB∥CD，
∴∠BDE＝∠DBF，∠BDC＝∠ABD，
∴∠ABF＝∠CDE，
∵∠CFA＝∠AEC＝90°，
∴∠DEC＝∠AFB＝135°，
∵CD＝AB，
∴△CDE≌△ABF，
∴AF＝CE＝1，
∴AC＝＝，
∴AD＝AC＝，
∵∠DHE＝90°，
∴∠HDE＝∠HED＝45°，
∴DH＝HE，设DH＝EH＝x，
在Rt△ADH中，∵AD2＝AH2+DH2，
∴＝（4﹣x）2+x2，
解得x＝或（舍弃），
∴DE＝DH＝
19．解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM＝∠CBN，
又∵∠APN＝∠BPM，
∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝60°；
同理可得：在图2中，∠APN＝90°；在图3中，∠APN＝108°．
（2）由（1）可知，∠APN＝所在多边形的内角度数，故在图n中，．
20．解：（1）连接OC、OD，作OH⊥CD于H，
∵⊙O的周长等于8πcm，
∴半径OC＝4cm，
∵六边形ABCDE是正六边形，
∴∠COD＝60°，
∴∠COH＝30°，
∴圆心O到CD的距离＝4×cos30°＝2，
∴圆心O到AF的距离为2cm；
（2）正六边形ABCDEF的面积＝×4×2×6＝24cm2．
21．（1）证明：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，
则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，
∵OB＝2，
∴OD＝1，
∴等边△ABC的边心距为1．
22．解：连接AC，作AE⊥PB于E，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BCD＝90°，∠ACB＝45°，
∴AC是⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠APC＝90°，AC＝AB，
∴AC＝＝＝，
∴AB＝＝，
∵∠APB＝∠ACB＝45°，AE⊥PB，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴PE＝AE＝AP＝，
∴BE＝＝＝，
∴PB＝PE+BE＝+＝2．
23．（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，
∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，
在△ABP和△DEQ中，，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
∴BP＝EQ，
同理可证PE＝QB，
∴四边形PEQB为平行四边形．
（2）解：连接BE、OA，则∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，
当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：
则∠EAF＝∠AEF＝30°，
∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，
∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．
当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：
同法可知∠BFE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．
综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，
∴AE＝＝6，
∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6＝36；
∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×矩形ABDE的面积＝6××36＝54，
∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比＝．
24．（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，
∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝4﹣t，
在△ABP和△DEQ中，
，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB，
∴四边形PEQB是平行四边形．
（2）解：①当PA＝PF，QC＝QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t＝2s．
②当t＝0时，∠EPF＝∠PEF＝30°，
∴∠BPE＝120°﹣30°＝90°，
∴此时四边形PBQE是矩形．
当t＝4时，同法可知∠BPE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．
综上所述，t＝0s或4s时，四边形PBQE是矩形．
故答案为2s，0s或4s．
25．解：（1）证明：连接CD，
∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵∠E＝∠ACD，
∠E＝∠B．
∴∠ACD＝∠B，
∴∠ACD+∠CAD＝∠B+∠CAD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）如图，
连接OD、CE，
若∠E＝45°，
则∠AOD＝90°，
∵AC＝4，
∴OA＝OD＝2，
∴AD＝2．
∴⊙O的内接正四边形的边长为AD的长为2．
2.6正多边形和圆同步达标测试题
1．已知正六边形的边长是2，则该正六边形的边心距是（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（ ）
A．正五边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十八边形
3．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，过点O作OM⊥边BC于点M，若⊙O的半径为4，则边心距OM的长为（ ）
A． B． C．2 D．
4．边长为2的正六边形的面积为（ ）
A．6 B．6 C．6 D．
5．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（ ）
A．cm B．5cm C．3cm D．10cm
6．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠BOQ＝ ．
7．已知正六边形的半径是4，则这个正六边形的周长为 ．
8．若一个正六边形的周长为24，则该六边形的面积为 ．
9．已知⊙O的内接正六边形的边心距为，则⊙O的周长为 ．
10．已知正六边形的半径是3，则这个正六边形的边长是 ．
11．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．
（1）求∠CPD的度数；
（2）当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
12．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA＝PB+PC；
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．
13．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD＝5cm，求⊙O的半径R．
14．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG＝CH，AG交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；
（2）求∠APH的度数．
15．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：
（1）通过计算（结果保留根号与π）．
（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 cm；
（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；
（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm；
（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．
16．阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：AB•r1+AC•r2＝AB•h，∴r1+r2＝h
（1）理解与应用
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，试证明：．
（2）类比与推理
边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于 ；
（3）拓展与延伸
若边长为2的正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边的距离为r1，r2，…rn，请问r1+r2+…rn是否为定值（用含n的式子表示），如果是，请合理猜测出这个定值．
17．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
18．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为任意一点，连接DE、AE．
（1）求∠AED的度数．
（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的长度．
19．如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
（1）求图1中∠APN的度数是 ；图2中，∠APN的度数是 ，图3中∠APN的度数是 ．
（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案） ．
20．如图，⊙O的周长等于 8πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O．
（1）求圆心O到AF的距离；
（2）求正六边形ABCDEF的面积．
21．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
22．如图，⊙O外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且AP＝1，PC＝3，求正方形ABCD的边长和PB的长．
23．中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；
（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．
24．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；
（2）填空：
①当t＝ s时，四边形PBQE为菱形；
②当t＝ s时，四边形PBQE为矩形．
25．如图，以△ABC的一边AC为直径的⊙O交AB边于点D，E是⊙O上一点，连接DE，∠E＝∠B．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若∠E＝45°，AC＝4，求⊙O的内接正四边形的边长．
参考答案
1．解：已知正六边形ABCDEF的边长为2cm，连接OA，作OM⊥AB，得到∠AOM＝30°，因而AM＝AB＝×2＝1cm．
正六边形的边心距是OM＝＝＝（cm）．
故选：B．
2．解：由题意可得：
边数为360°÷36°＝10，
则这个多边形是正十边形．
故选：C．
3．解：如图，连接OB、OC．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，OB＝OC＝4，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝4，
∵OM⊥BC，
∴BM＝CM＝2，
在Rt△OBM中，OM＝＝＝2，
故选：A．
4．解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝×360°＝60°，
∵OB＝0C，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝2，
∴它的半径为2，边长为2；
∵在Rt△OBH中，OH＝OB•sin60°＝2×，
∴边心距是：；
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6××2×＝6．
故选：A．
5．解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB交AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝OA＝（cm），
∴AC＝2AN＝15（cm），
∴GH＝AC＝5（cm），
故选：B．
6．解：连接OA，OD，
∵△PQR是⊙O的内接正三角形，
∴PQ＝PR＝QR，
∴∠POQ＝×360°＝120°，
∵BC∥QR，OP⊥QR，
∵BC∥QR，
∴OP⊥BC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴OP⊥AD，∠AOD＝90°，
∴＝，
∴∠AOP＝∠DOP，
∴∠AOP＝×90°＝45°，
∴∠AOQ＝∠POQ﹣∠AOP＝75°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠QOB＝15°，
故答案为：15°．
7．解：正六边形的半径为2cm，则边长是4，因而周长是4×6＝24．
故答案为：24．
8．解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，
∴∠BOC＝×360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∵正六边形ABCDEF的周长为24，
∴BC＝24÷6＝4，
∴OB＝BC＝4，
∴BM＝BC＝2，
∴OM＝＝2，
∴S△OBC＝×BC×OM＝×4×2＝4，
∴该六边形的面积为：4×6＝24．
故答案为：24．
9．解：如图所示，连接OA、OB，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OAM＝60°，
∴OM＝OA•sin∠OAM，
∴OA＝＝＝2，
∴⊙O的周长为4π，
故答案为：4π．
10．解：如图所示，连接OB、OC，
∵此六边形是正六边形，
∴∠BOC＝＝60°，
∵OB＝OC＝3，
∴△BOC是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝3，
故答案为：3．
11．解：（1）连接OD，OC，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠DOC＝90°．
∴；
（2）连接PO，OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠COB＝90°，
∵点P为BC的中点，
∴＝，
∴，
∴n＝360÷45＝8．
12．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，
连接CE．∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∵∠BPC+∠EPC＝180°，
∴∠BAC＝∠CPE＝60°，PE＝PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE＝PC，∠E＝60°；
又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，
∴∠BCE＝∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，
∴CE＝PC，AC＝BC，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA＝BE＝PB+PC．
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°
∴∠1＝∠3，
∴∠APB＝45°，
∴BP＝BE，∴；
又∵AB＝BC，
∴△ABE≌△CBP，
∴PC＝AE．
∴．
（3）答：；
证明：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ＝PC，
连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，
∴△ABQ≌△CBP，
∴BQ＝BP．
∴MP＝QM，
又∵∠APB＝30°，
∴cos30°＝，
∴PM＝PB，
∴
∴
13．解：连接OB，OC，OD，
∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC＝×360°＝120°，∠BOD＝×360°＝30°，
∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝45°，
∴OC＝CD•cos45°＝5×＝5（cm）．
即⊙O的半径R＝5cm．
14．（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，
AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°，
在△ABG与△BCH中，
∴△ABG≌△BCH；
（2）解：由（1）知：△ABG≌△BCH，
∴∠BAG＝∠HBC，
∴∠BPG＝∠ABG＝120°，
∴∠APH＝∠BPG＝120°．
15．解：（1）（Ⅰ）连接BD，
∵AD＝3×5＝15cm，AB＝5cm，
∴BD＝＝cm；
（Ⅱ）如图所示，
∵三个正方形的边长均为5，
∴A、B、C三点在以O为圆心，以OA为半径的圆上，
∴OA＝＝5cm，
∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为10cm；
（Ⅲ）如图所示，
∵CE⊥AB，AC＝BC，
∴AD是过A、B、C三点的圆的直径，
∵OA＝OB＝OD，
∴O为圆心，
∴⊙O的半径为OA，
OA＝＝5cm，
∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为5×2＝10cm；
（2）如图④为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，
连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，
设OG＝x，则OP＝10﹣x，
则有：，
解得：，（8分）
则ON＝，
∴直径为．
16．解：（1）分别连接AP，BP，CP，作AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝90°，
∵△ABC是等边三角形
∴AB＝BC＝AC＝2，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝1，在Rt△ABD中，由勾股定理，得
∴AD＝
∵S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC．
∴AB•r1+BC•r2+AC•r3＝BC×AD，
∵BC＝AC＝AB，
∴r1+r2+r3＝AD．
∴r1+r2+r3＝
（2）如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝2．
∵PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥DC，PH⊥AD，
∴四边形PEBF是矩形，四边形PFCG是矩形，四边形PGDH是矩形，四边形PHAE是矩形，
∴PE＝AH，PF＝BE，PG＝HD，PH＝AE，
∴PE+PF+PG+PH＝AH+BE+HD+AE＝AD+AB＝4．
故答案为4．
（3）设正n边形的边心距为r，且正n边形的边长为2，
∴S正n边形＝×2×r×n．r＝，
∵S正n边形＝×2×r1+×2×r2+×2×r1+…+×2×rn，
∴×2×r1+×2×r2+×2×r1+…+×2×rn＝×n，
∴r1+r2+…+rn＝nr＝（为定值）．
17．解：（1）连接OB，OC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BOC＝90°，
∴∠P＝∠BOC＝45°；
（2）过点O作OE⊥BC于点E，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴∠OBE＝45°，
∴OE＝BE，
∵OE2+BE2＝OB2，
∴BE＝＝＝4
∴BC＝2BE＝2×4＝8．
解法二：如图，连接BD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
∴∠CBD＝45°，
∴BC＝BD•cos45°＝16×＝8．
18．解：（1）如图1中，连接OA、OD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD＝90°，
∴∠AED＝∠AOD＝45°．
（2）如图2中，连接CF，CE，CA，BD，作DH⊥AE于H．
∵BF∥DE，AB∥CD，
∴∠BDE＝∠DBF，∠BDC＝∠ABD，
∴∠ABF＝∠CDE，
∵∠CFA＝∠AEC＝90°，
∴∠DEC＝∠AFB＝135°，
∵CD＝AB，
∴△CDE≌△ABF，
∴AF＝CE＝1，
∴AC＝＝，
∴AD＝AC＝，
∵∠DHE＝90°，
∴∠HDE＝∠HED＝45°，
∴DH＝HE，设DH＝EH＝x，
在Rt△ADH中，∵AD2＝AH2+DH2，
∴＝（4﹣x）2+x2，
解得x＝或（舍弃），
∴DE＝DH＝
19．解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM＝∠CBN，
又∵∠APN＝∠BPM，
∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝60°；
同理可得：在图2中，∠APN＝90°；在图3中，∠APN＝108°．
（2）由（1）可知，∠APN＝所在多边形的内角度数，故在图n中，．
20．解：（1）连接OC、OD，作OH⊥CD于H，
∵⊙O的周长等于8πcm，
∴半径OC＝4cm，
∵六边形ABCDE是正六边形，
∴∠COD＝60°，
∴∠COH＝30°，
∴圆心O到CD的距离＝4×cos30°＝2，
∴圆心O到AF的距离为2cm；
（2）正六边形ABCDEF的面积＝×4×2×6＝24cm2．
21．（1）证明：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，
则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，
∵OB＝2，
∴OD＝1，
∴等边△ABC的边心距为1．
22．解：连接AC，作AE⊥PB于E，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BCD＝90°，∠ACB＝45°，
∴AC是⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠APC＝90°，AC＝AB，
∴AC＝＝＝，
∴AB＝＝，
∵∠APB＝∠ACB＝45°，AE⊥PB，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴PE＝AE＝AP＝，
∴BE＝＝＝，
∴PB＝PE+BE＝+＝2．
23．（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，
∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，
在△ABP和△DEQ中，，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
∴BP＝EQ，
同理可证PE＝QB，
∴四边形PEQB为平行四边形．
（2）解：连接BE、OA，则∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，
当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：
则∠EAF＝∠AEF＝30°，
∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，
∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．
当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：
同法可知∠BFE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．
综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，
∴AE＝＝6，
∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6＝36；
∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×矩形ABDE的面积＝6××36＝54，
∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比＝．
24．（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，
∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝4﹣t，
在△ABP和△DEQ中，
，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB，
∴四边形PEQB是平行四边形．
（2）解：①当PA＝PF，QC＝QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t＝2s．
②当t＝0时，∠EPF＝∠PEF＝30°，
∴∠BPE＝120°﹣30°＝90°，
∴此时四边形PBQE是矩形．
当t＝4时，同法可知∠BPE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．
综上所述，t＝0s或4s时，四边形PBQE是矩形．
故答案为2s，0s或4s．
25．解：（1）证明：连接CD，
∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵∠E＝∠ACD，
∠E＝∠B．
∴∠ACD＝∠B，
∴∠ACD+∠CAD＝∠B+∠CAD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）如图，
连接OD、CE，
若∠E＝45°，
则∠AOD＝90°，
∵AC＝4，
∴OA＝OD＝2，
∴AD＝2．
∴⊙O的内接正四边形的边长为AD的长为2．
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