初中数学冀教版八年级上册13.3 全等三角形的判定教学设计及反思

13.3全等三角形的判定（3）

教学目标

【知识与能力】

1.掌握“角边角”及“角角边”的内容.

2.能初步应用“角边角”及“角角边”判定两个三角形全等.

【过程与方法】

使学生经历探索三角形全等的过程,体验用操作、归纳得出数学结论的过程.

【情感态度价值观】

通过探究三角形全等的活动,培养学生敢于面对困难、克服困难的能力.

教学重难点

【教学重点】

“角边角”及“角角边”的内容.

【教学难点】  

分析问题,寻找判定两个三角形全等的条件.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

教师讲解:前面,我们已经知道,当两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等时,两个三角形一定全等,而当两个三角形的两条边及其中一边的对角分别对应相等时,两个三角形不一定全等.

这节课,我们将讨论以下情况:如图所示,一种情况是已知两个角及这两角的夹边;另一种情

况是已知两个角及其中一角的对边.

[设计意图]　让学生明确本节课要研究的主要内容,并明确三角形中边与角的位置关系,理解“两角夹一边”和“两角一对边”的含义.

导入二:

1.复习旧知:

(1)三角形中已知三个元素,包括哪几种情况?

(三个角、三个边、两边一角、两角一边)

(2)到目前为止,可以作为判定两三角形全等的方法有几种?各是什么?

2.师:在三角形中,已知三个元素的四种情况中,我们研究了两种,我们接着探究已知两角一边是否可以判定两三角形全等.

导入三:

【课件1】　如图所示,小明不小心把一块三角形的玻璃打碎成四块,现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是什么?你能帮小明出出主意吗?

要想最省事,就要带块数最少且要满足它能够确定该三角形的形状和大小,这就是本节课要学到的判定三角形全等的知识.学完本节,你就会知道为什么应该带第2块去.

[设计意图]　激趣设疑,让学生产生学习的兴趣,积极地投入到本节课的学习之中.

二、新知构建：

　　[过渡语]　在两角一边中有两种情况,下面我们就来研究这两种情况,即两角一夹边,两角一对边.

活动一:“角边角”基本事实和“角角边”定理的探究

思路一

做一做:

【课件2】　三角形的两个内角分别是60°和80°,它们的夹边为4cm,你能画一个三角形同时满足这些条件吗?将你画的三角形剪下来.

同伴比较,观察它们是不是全等,你能得出什么结论?

【学生活动】　自己动手操作,然后与同伴交流,得出结论.

【教师活动】　检查指导,帮助有困难的同学.

活动结果展示:

以小组为单位将所得三角形放在一起,发现完全重合,这说明这些三角形全等.

提炼结论:

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简记为“角边角”或“ASA”).

师:我们刚才作的三角形是一个特殊三角形,随意画一个三角形ABC,能不能作一个ΔA'B'C',使∠A=∠A',∠B=∠B',AB=A'B'呢?

生:能.

学生口述画法,教师进行多媒体课件演示,使学生加深对“ASA”的理解.

生:(1)先用量角器量出∠A与∠B的度数,再用直尺量出AB边的长;

(2)画线段A'B',使A'B'=AB;

(3)分别以A',B'为顶点,A'B'为一边在同侧作∠DA'B',∠EB'A',使∠DA'B'=∠CAB,∠EB'A'=∠CBA;

(4)射线A'D与B'E交于一点,记为C',即可得到ΔA'B'C'.

将ΔA'B'C'与ΔABC放到一起,发现两三角形全等.

教师出示图形:

于是我们发现规律:

两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).

这又是一个判定两个三角形全等的方法.

[知识拓展]　“ASA”中的“S”必须是两个“A”所夹的边.

书写格式:

在ΔABC和ΔA'B'C'中,所以ΔABC≌ΔA'B'C'.

出示探究问题:

【课件3】　如图所示,在ΔABC和ΔDEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,ΔABC与ΔDEF全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗?

〔解析〕　如果能证明∠C=∠F,就可以利用“角边角”证明ΔABC和ΔDEF全等,由三角形内角和定理可以证明∠C=∠F.

证明:∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°,∠A=∠D,∠B=∠E,

∴∠A+∠B=∠D+∠E

∴∠C=∠F.

在ΔABC和ΔDEF中,

∴ΔABC≌ΔDEF(ASA).

于是得规律:

两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).

[知识拓展]　“角角边”(AAS)可以看成是“角边角”(ASA)的推论.由“角边角”及“角角边”可知两角及一边对应相等的两个三角形全等,无论这一边是“对边”还是“夹边”,只要对应相等即可.

思路二

一、体验已知两角及夹边的三角形的唯一性

1.利用刻度尺、量角器、小刀等工具制作符合如下条件的三角形:

(1)ΔABC,其中∠A=35°,∠B=65°,AB=5cm;

(2)ΔDEF,其中∠D=70°,∠E=50°,∠E的对边DF=4cm.

注意:(2)题学生可能感觉难度较大,教师可提示学生先求出∠F=60°,再利用(1)的作法进行作图.

2.如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边,那么你画的三角形与同伴画的一定完全重合吗?试试看.

结论:有两角和夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“ASA”或“角边角”.

3.如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边,以你所画的ΔDEF为例,你画的三角形与同伴画的一定完全重合吗?试试看.

结论:有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”.

二、证明“ASA”定理

教师出示已知条件:如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,已知AB=A'B',∠A=∠A',∠B=∠B'.求证ΔABC≌ΔA'B'C'.

教师给出证明方法:由于AB=A'B',我们移动其中的ΔABC,使点A与点A'、点B与点B'重合,且使点C与点C'分别位于线段AB,A'B'的同侧,因为∠A=∠A',因此可以使∠A与∠A'的边AC与A'C'重叠在一起;同样因为∠B=∠B',可以使∠B与∠B'的边BC与B'C'重叠在一起,由于两条直线相交只有一个交点,因此点C与点C'重合,这就说明这两个三角形全等,由此可得判定三角形全等的又一种简便方法:

如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等,那么这两个三角形全等,简记为“ASA”(或角边角).

三、证明“AAS”定理

教师出示应用“ASA”证明三角形全等的问题:

【课件4】　如图所示,已知∠ABC=∠DCB,∠A=∠D,求证ΔABC≌ΔDCB.

教师要求学生应用“ASA”定理证明本题,学生思考后教师提问,并根据学生的回答加以引导后由教师板书.

证明结束后教师提出问题:如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等,那么这两个三角形是否一定全等?

教师要求学生思考这个问题,并提醒学生利用三角形内角和为180°这一公理来考虑问题,一般学生都会得出正确结论,教师再加以总结:因为三角形的内角和为180°,所以有两个角对应相等,那么第三个角必对应相等,于是问题就由“角角边”转化为“角边角”,这样便可证得这两个三角形全等.

教师要求学生自己证明“AAS”定理:如果两个三角形的两角及其中一个角的对边对应相等,那么这两个三角形全等.简记为“AAS”(或角角边).

学生证明后,教师边讲解边板书.

教师提问:我们已经讨论了两个三角形有两边一角以及两角一边分别对应相等,这两个三角形能否全等的情况.我们很容易发现,如果两个三角形有三个角分别对应相等,那么这两个三角形未必全等,如图所示,这两个三角形三个角分别相等,它们并不全等,只是形状相同.

活动二:例题讲解

【课件5】

　已知:如图所示,AD=BE,∠A=∠FDE,BC∥EF.求证:ΔABC≌ΔDEF.

[师生共析]　根据AD=BE,得到AB=DE;由两直线平行,得到同位角相等,然后利用“ASA”即可得到ΔABC≌ΔDEF.

证明:∵AD=BE(已知),

∴AB=DE(等式的性质).

∵BC∥EF(已知),

∴∠ABC=∠E(两直线平行,同位角相等).

在ΔABC和ΔDEF中,

∵

∴ΔABC≌ΔDEF(ASA).

师:到目前为止,在三角形中已知三个条件探索两个三角形全等的问题已全部结束,请同学们把两个三角形全等的判定方法作一个小结.

【学生活动】　自我回忆总结,然后小组讨论交流、补充.

三、课堂小结：

知识点一:“角边角”判定三角形全等

两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”.

这是我们学习的第三个判定三角形全等的方法,这里的两角和夹边,是指同一个三角形的边和角,边是两个角的夹边.

知识点二:“角角边”判定三角形全等

两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”).

该判定是通过“ASA”推导得出的,今后可以直接用“AAS”来判定两个三角形全等,它是“ASA”的一个推论.