初中数学冀教版八年级上册14.1 平方根教案及反思

14.1平方根（1）

教学目标

【知识与能力】

1.能说出平方根的概念,会用根号表示一个数的平方根.

2.知道开平方与平方是互逆运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根.

3.知道±√a表示的是非负数a的平方根.

【过程与方法】

在学习开平方运算求一个数的平方根的过程中,体会开平方运算与平方运算之间的互逆关系.【情感态度价值观】

1.通过探究学习,使学生进一步感受到所学数学知识之间的内在联系.

2.培养学生发现问题、归纳结论、应用新知的意识,培养学生学数学、爱数学的良好情感.教学重难点

【教学重点】

平方根、算术平方根的概念及求法.

【教学难点】  

有关平方根、算术平方根的运算以及它们的区别与联系.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方的运算,但在现实生活中,有些问题仅运用这五种运算是无法解决的.例如:小明家有一块面积为100m2的正方形花圃.花圃周围要用护栏围起来,需要护栏多少米?解决这个问题就要运用一种新的运算,这种运算叫做开平方.这节课我们就要学习开平方运算和平方根.

[设计意图]　新课程数学课堂强调,从学生已有的经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.

导入二:

小明家的新房刚刚装修好,星期天小明的爸爸带着小明去挑选餐桌.他们看中了一款非常漂亮的餐桌,可是不知道边长是多少,正当小明的爸爸犯愁

的时候,小明看了看桌子上的标签,得意地说:“我知道了”.

几秒之后提问:同学们,你们知道吗?

[设计意图]　设疑之后,引导学生发现这个问题的本质,即求平方等于100的数是多少.随后,再说几个数让学生们找哪些数的平方等于它们.有了以上的铺垫,解决这一问题对于学生来说就轻而易举了,即可轻松地引入课题.

导入三:

玲玲家最近喜事不断,家里新购了一套房子,全家欢欢喜喜地搬进新居,爸爸妈妈又增加了工资.条件改善了,为了给玲玲一个好的学习环境,爸爸打算给玲玲买一张桌子供她在家做作业.爸爸问玲玲:“你喜欢长方形桌子还是正方形桌子?”玲玲认为正方形桌子更大,可以多放点书,又可以有足够的位置写字,所以她更喜欢正方形桌子.于是爸爸根据她的要求为她购置了一张正方形桌子,玲玲量了量课桌的边长为100cm,你能算出这张桌子的周长和面积吗?如果玲玲更直接地告诉爸爸:“我想要一张面积约为125dm2的正方形桌子”.爸爸能为她购置到满意的桌子吗?计算正方形的面积必须要知道正方形的边长,根据边长求面积是乘方运算,而根据面积求边长又是什么运算呢?这节课我们就来探讨这个问题.

[设计意图]　好的故事情境,充满了生活气息,让学生感知数学与生活的密切联系,从中体会学习数学的重要性,使学生更能积极地投入到本节的学习之中.

二、新知构建：

活动一:做一做——感知平方根

　　[过渡语]　通过导入一我们知道当护栏的边长是10m时,正方形花圃的面积是100m2,也就是102=100.下面我们再来看几个问题.

思路一

【课件1】

1.和-的平方等于多少?10和-10的平方等于多少?

2.平方等于的数有哪些?平方等于100的数呢?

3.满足x2=25的x的值是多少?

解:1.,100.　2.,-,10,-10.　3.5,-5.

教师说明:因为52=25,所以x=5;又因为(-5)2=25,所以5或-5的平方都等于25.

因为5和-5的平方都等于25,我们把5和-5叫做25的平方根.

归纳:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.

例如:100的平方根是10与-10.因为(±10)2=100,所以10与-10都是100的平方根.

你能说出49,144的平方根吗?

(49的平方根是7和-7;144的平方根是12和-12.)

[设计意图]　使学生初步体会到:(1)互为相反数的两个数的平方相等;(2)初步感受平方与开平方这种互逆关系.

【课件2】　填写下表:

　　学生填完表格后,引导学生观察:

(1)当一个正数和一个负数互为相反数时,它们的平方有什么关系?

(2)正数有平方根吗?如果有,有几个?它们有什么关系?

(3)0有平方根吗?如果有,它是什么数?

(4)负数有平方根吗?

学生独自思考,通过具体实例弄懂上述问题,然后总结出:

(1)它们的平方相等.

(2)一个正数有两个平方根,它们互为相反数.

(3)0有一个平方根,是0本身.

(4)负数没有平方根.

说明:通过具体数的平方根的探究,引导学生总结出正数、0、负数的平方根的情况.

教师指出:一个正数a的正的平方根,用符号“”表示,a叫做被开方数.正数a的负的平方根,用符号“-”表示,这两个平方根合起来可以记作“±”.根指数是2时,通常这个2省略不写,如记作,读作“根号a”;±记作±,读作“正、负根号a”.

【课件3】　观察框图,说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎样的关系.

教师指导学生根据框图,明确求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算互为逆运算,并举例加以说明,我们把求一个数的平方根的运算,叫做开平方.

[设计意图]　理解和掌握平方根的性质,认识平方与开平方互为逆运算.

思路二

说明:导入一中的问题,实际就是要求一个数,这个数的平方等于100,结合以前乘方的知识,我们不难得出102=100.所以护栏的边长是10m.

教师说明:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.

因为52=25,所以5是25的一个平方根.

说明:除52=25外,可以由学生多举几个例子,以加深对概念的认识,从具体到抽象,便于学生理解和接受平方根的概念.

问1:25的平方根只有一个吗?有没有其他的数,它的平方也是25?

学生思考,快速得到:因为(-5)2=25,所以-5也是25的一个平方根.

问2:从上述解决问题的过程中,你能总结一下求一个数的平方根的方法吗?

(根据平方根的意义,可以利用平方来寻找或检验一个数的平方根)

【课件4】　求100的平方根.

问1:你能按照上述问题解决的方法求出100的平方根吗?

问2:你能正确书写解题过程吗?

解:∵(10)2=100,(-10)2=100,∴100的平方根为10或-10(也可以写成±10).

说明:理解概念的基础上,引导学生思考,由学生口述,教师适时纠正易出现的错误,板书规范解题格式.

【课件5】　试一试.

(1)144的平方根是什么?

(2)0.0001的平方根是什么?

(3)0的平方根是什么?

讨论:通过刚才的“试一试”你能发现什么规律?

总结:1.正数的平方根有两个,它们互为相反数.

2.0的平方根是0.

由以上讨论发现,有时候我们已知一个数要求这个数的二次幂时,只有一个,也有些时候,我们已知某数的二次幂,要求出这个数,发现此时通常可找到两个数,且这两个数互为相反数.

[设计意图]　进一步巩固有关平方根的概念,在练习中总结平方根的有关性质,培养学生的总结归纳能力.教师引导,学生自己总结出平方根的性质,充分反映了“教师主导,学生主体”的理念.

问1:-4有没有平方根?为什么?

学生思考得出:一个负数没有平方根,因为任何数的平方都是非负数.

结论:

1.正数的平方根有两个,它们互为相反数.

2.0的平方根只有一个,为0.

3.负数没有平方根.(补充:非负数才有平方根.)

问2:a有没有平方根?为什么?

结合问1:当a≥0时,a有平方根;当a<0时,a没有平方根.

[设计意图]　引导学生学会用简练的数学语言来表达,促进学生数学思维的发展及数学语言的运用.

注:学生刚开始接触平方根时,有两点可能不太习惯:一是正数有两个平方根,即正数进行开平方运算时有两个结果,这与学生过去遇到的运算结果唯一的情况有所不同;另一个是负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算.教学时,可以通过较多实例说明这两点,并在本节以后的教学中继续强化这两点.

说明:正数a的两个平方根记为±,其中a叫做被开方数.如4的平方根为±,被开方数是4;0.01的平方根为±,被开方数是0.01.

活动二:例题讲解

　　[过渡语]　我们把求一个数平方根的运算,叫做开平方.我们可以借助平方运算来求一个正数的平方根.

【课件6】

　求下列各数的平方根.

(1)81;　(2);　(3)0.04.

指导学生利用平方与开平方的互逆关系求各数的平方根.

解:(1)因为(±9)2=81,所以81的平方根为±9,即±=±9.

(2)因为,所以的平方根为±,即±=±.

(3)因为(±0.2)2=0.04,所以0.04的平方根为±0.2,即±=±0.2.

教师规范书写格式.

思考:±表示什么意思,这里的a可取什么样的数呢?

-又该怎样理解呢?这里的x又可取什么样的数呢?

学生讨论回答.

【课件7】

(补充)下列各数有平方根吗?如果有,求出它的平方根,如果没有,说明理由.

-64,0,(-4)2.

学生分组讨论,选派一名代表回答.

解:-64没有平方根;0的平方根是0;(-4)2的平方根是±4.

[知识拓展]　(1)平方根是一个数,是开平方的结果;而开平方和加、减、乘、除、乘方一样,指的是一种运算,是求平方根的过程.

(2)平方和开平方互为逆运算,我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.

(3)平方和开平方之间的关系我们可以这样来理解:①已知底数m和指数2,求幂,是平方运算,即m2=(?);②已知幂a和指数2,求底数,是开平方运算,即(?)2=a.

[设计意图]　通过例题,让学生掌握平方根的计算方法,强化对平方根性质的理解,进一步掌握正数有两个平方根,它们互为相反数;负数没有平方根;0的平方根是0.

三、课堂小结：