初中数学冀教版八年级上册14.2 立方根教案

14.2立方根

教学目标

【知识与能力】

1.了解立方根的概念,初步学会用根号表示一个数的立方根,让学生体会一个数的立方根的唯一性.

2.了解开立方与立方互为逆运算,会用立方运算求某些数的立方根,分清一个数的立方根与平方根的区别.

【过程与方法】

1.帮助学生了解数的立方根的概念和性质,会用三次根号表示数的立方根,让学生体会一个数的立方根的唯一性.

2.帮助学生了解开立方运算与立方运算之间的互逆关系,掌握用立方运算求一个数的立方根的方法,帮助学生了解用计算器求某些数的立方根的方法.

3.通过学生的积极参与,培养学生独立思考的能力,提高数学表达和运算能力.

【情感态度价值观】

1.通过立方根的学习,认识数学与人类生活的密切联系,激发学生的学习兴趣.

2.通过探究活动,锻炼克服困难的意志,增强自信心,激发学生的探索热情.

教学重难点

【教学重点】

立方根的概念和性质.

【教学难点】  

区别立方根和平方根.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

师:请同学们回忆我们是怎样定义平方根的?它的符号怎么表示?

生:如果x2=a,那么x叫做a的平方根(或二次方根).符号表示:±,其中a≥0.(教师板书)

师:我们还学习了一种新的运算,是什么运算呢?它是怎么定义的?

生:开平方:求一个数的平方根的运算,叫做开平方,与平方互为逆运算.

师:那么平方根有什么样的性质呢?

生:正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根还是0;负数没有平方根.

教师引导学生回忆,并回答出平方根的定义、符号表示及性质,对定义及符号进行板书,性质利用表格的形式板书出来,有利于跟本节课的新知识进行对比.

　　[设计意图]　通过对平方根的复习,可以增加学生对平方根的印象,同时,教师也能通过学生复习过程的表现,间接了解学生对知识的掌握程度,也能让学生在学习完立方根后,更好地对这两个概念进行比较.

导入二:

传说很久以前,在古希腊的某个地方发生大旱,地里的庄稼都干了,于是大家一起到神庙里去向神祈求.神说:“我之所以不给你们降水,是因为你们给我做的这个正方体的祭坛太小,如果你们给我做一个比它大一倍的祭坛放在我面前,我就会给你们降下雨水.”大家觉得这好办,于是很快做好一个新祭坛送到神那儿,新祭坛的边长是原祭坛的2倍,可是神更加恼怒,他说:“你们竟愚弄我!这个祭坛的体积根本不是原来的2倍,我要惩罚你们!”

要做一个体积是原来2倍的新祭坛,它的边长应该是原来的多少倍呢?学完这节课,同学们一定会有所收获.

[设计意图]　通过故事情境的导入,让学生对本节内容的学习充满了期待,能更加积极地投入到本节的学习之中.一个良好的学习态度,是学生学习知识的基础,学生积极性的调动,更是一节课成功的灵魂.

二、新知构建：

活动一:感知立方根

【课件1】　(教材第66页观察与思考)如图所示,已知小正方体的棱长为2,那么它的体积是多少?反过来,如果大正方体的体积V=27,你能不能求出它的棱长x呢?

(1)想一想:正方体的体积公式是什么?

体积=棱长3

(2)你能解答这道题吗?

指名口述:由正方体的体积公式可知,棱长是2的正方体的体积是23=8.因为33=27,所以当x3=27时,x=3.

说明:将此题转化为求一个数,使它的立方是27,得出这个数是3.

活动二:立方根的定义

　　[过渡语]　我们知道了平方根的定义,那么什么叫做立方根呢?请同学们完成下面的问题.

【课件2】　(教材第66页试着做一做)求满足下列各式的x的值.

(1)x3=-1;　(2)x3=64;　(3)x3=0.008;　(4)x3=-.

指导学生独立完成,然后指名回答.

解:(1)x=-1.　(2)x=4.　(3)x=0.2.　(4)x=-.

本题是已知一个数x的立方,求这个数的值,而平方根是已知一个数的平方,求这个数,从而学生可以类比平方根的概念归纳出立方根的概念.

师:对比平方根的定义,你能归纳出立方根的定义是什么吗?

学生谈论思考,教师引导归纳概念:

概念归纳:一般地,如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根,也叫做a的三次方根.(教师板书)

师:在上面问题中,因为33=27,所以3是27的立方根.

类比开平方的运算,我们也可以定义出开立方运算:求一个数的立方根的运算,叫做开立方.(板书)

正如开平方与平方互为逆运算一样,开立方与立方也互为逆运算.因此,我们可以通过开立方与立方的这种关系来求一个数的立方根.

[设计意图]　联系平方根的概念,让学生类比,给出立方根的概念,学生初步体会到立方根与平方根的联系和区别.

活动三:立方根的性质及表示方法

1.立方根的性质

思路一

探究:根据立方根的意义填空,看看正数、0、负数的立方根各有什么特点?

教师将题目板书出来,然后要求学生口答,最后让学生观察、讨论,归纳出立方根的性质.

【课件3】

①因为23=8,所以8的立方根是(2);

②因为(0.5)3=0.125,所以0.125的立方根是(0.5);

③因为(-0.5)3=-0.125,所以-0.125的立方根是(-0.5);

④因为03=0,所以0的立方根是(0);

⑤因为=-,所以-的立方根是.

【课件4】　(教材第67页大家谈谈)

1.一个正数有几个立方根?正数的立方根是正数还是负数?

2.一个负数有几个立方根?负数的立方根是正数还是负数?

3.0的立方根是什么数?

生:一个正数有一个立方根,正数的立方根是正数;一个负数有一个立方根,负数的立方根是负数;0的立方根是0.

归纳:任何数(正数、负数、0)都有立方根,并且只有一个.

教师根据学生的回答将以下的表格填写完整,可以清晰地看出平方根和立方根的区别,同时要求学生记在笔记上.

　　教师还要指导学生:我们发现,进行立方运算,当底数互为相反数时,它们的幂也互为相反数,这与平方运算不同.平方运算的底数互为相反数,但它们的幂相等,故一个正数的平方根有两个,但一个正数的立方根却只有一个.

[设计意图]　让学生动手计算,亲身感受任何一个数都有一个立方根,以及一个数的立方根的唯一性,并体会到开立方与立方互为逆运算,求一个数的立方根可以通过立方运算来求的道理.教学中,教师注意引导学生养成边做边总结的习惯,有利于学生明晰道理.

思路二

想一想:平方根的性质是什么?

学生思考后得出:(1)正数的平方根有两个,它们互为相反数;(2)0的平方根是0;(3)负数没有平方根.

　　[过渡语]　那么立方根又有怎样的性质呢?下面我们共同探讨一下.

【课件5】　求下列各组数的立方根.

(1)125,0.004,,3;

(2)0;

(3)-125,-0.004,-,-3.

说明:引导学生说出以上三组数的立方根,并讨论能得出哪些结论?

教师根据学生的回答进行归纳:

【总结归纳】

大多数同学也会得到,互为相反数的两个数的立方根也互为相反数,教师也要及时加以表扬和肯定.

[规律总结]

(1)求一个数的立方根时要注意:一个正数只有一个正的立方根,一个负数只有一个负的立方根,这和一个正数有两个平方根,一个负数没有平方根不同.

(2)立方根等于它本身的数只有三个:0,-1,1.

(3)当一个分数是带分数时,先将它化为假分数再求它的立方根.

2.立方根的表示方法

　　[过渡语]　通过计算我们会发现,这样表述一个数的立方根太复杂了,是否立方根也能像平方根一样用一个符号来表示呢?

类似于平方根,一个数a的立方根用符号“”表示,读作“三次根号a”,其中,a是被开方数,3是根指数.

师:现在我们学习了立方根的符号表示,就可以用立方根的符号表示一个数的开立方运算.

【课件6】

　求下列各数的立方根.

(1);　(2)-8;　(3)-0.064.

解:(1)因为,所以的立方根为,即.

(2)因为(-2)3=-8,所以-8的立方根为-2,即=-2.

(3)因为(-0.4)3=-0.064,所以-0.064的立方根为-0.4,即=-0.4.

教师在书写过程中要重点强调:“”的根指数3不能省略,同时3的书写位置也要重点注意.此处教师可以通过举反例的方法来引起学生的注意.

问题1:学习了立方根的符号后,大家是否有个疑问,立方根有根指数3,那么算术平方根有没有根指数呢?如果有,它的根指数是多少?

教师通过学生的回答情况,强调:算术平方根也有根指数,且为2,因此也可以读作“二次根号a”,但是这里的根指数可以省略.

问题2:我们已经学过算术平方根的符号中的a必须是非负数,那么立方根的符号中的a的取值有什么限制吗?

生:立方根的符号中的a没有限制,可以取任何数.

教师通过这个问题总结出:任何数都有立方根,且它的立方根都只有一个,但只有非负数才有平方根.

[知识拓展]　平方根与立方根的联系与区别.

联系:①都有相应的乘方运算与开方运算互为逆运算,开平方与平方互为逆运算,开立方与立方互为逆运算;②0的平方根与立方根都是它本身.

区别:①用根号表示平方根时,根指数2可以省略,而用根号表示立方根时,根指数不能省略;②平方根只有非负数才有,而立方根任何数都有.如-8没有平方根,但有立方根,为-2;③正数的平方根有2个,而正数的立方根只有1个.如2的平方根是±,而立方根只有.

【课件7】　探究:因为=　　　　,-=　　　　,所以　　　　-. 

因为=　　　　,-=　　　　,所以　　　　-. 

问题3:请同学们计算出上式,看看你能得出什么结论?

学生计算出各题的答案后,能得出两者是相等的,教师再引导学生总结出一般规律:=0;=-.

开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验结果的正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即=-.(互为相反数的两个数的立方根也互为相反数)

问题4:想一想:一个数a的立方的立方根等于多少?请举出几个例子加以说明.

教师指导学生举正数、负数、0的立方的立方根,从中发现规律.

归纳:一个数的立方的立方根等于它本身,即=a.

【课件8】

　求下列各式的值.

(1);　(2).

〔解析〕　教师分析出每题的含义,然后再求解.

含义:(1)表示-0.027的立方根.(2)表示-的立方根.

解:(1)=-=-=-0.3.

(2)=-=-=-.

【课件9】　拓展练习.

(1);　(2);　(3).

教师重点关注学生的解题格式,以及第二题的计算顺序是否正确,再将第三题与之对比,让学生体会其中的区别.同时,教师要向学生强调混合运算中的计算顺序问题.

解:(1)=-=-.

(2).

(3)=-2+3=1.

[设计意图]　在了解立方根的性质的同时,让学生掌握立方根的表示方法;通过对问题的探究,让学生掌握立方根的一些规律,从而能够灵活应用.例题着重于弄清立方根的概念,不仅让学生会求立方根,还让学生学会从开立方与立方是互为逆运算中寻找解题途径.

三、课堂小结：