初中数学冀教版八年级上册第十四章 实数14.3 实数教案设计

14.3实数（1）

教学目标

【知识与能力】

1.理解和掌握无理数和实数的概念.

2.能正确识别无理数.

3.能正确地对实数进行分类.

【过程与方法】

通过实际问题的探究,使学生认识到数的扩充的必要性.

【情感态度价值观】

经历从有理数逐步扩充到实数的过程,体会人类对数的认识是不断发展的,认识到数学的发展源于生活实际,又作用于生活实际.

教学重难点

【教学重点】

了解无理数和实数的概念.

【教学难点】  

对无理数的认识.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一、新课导入：

导入一:

1.复习提问:

(1)正数的平方根怎样表示?平方根的性质是什么?

(2)什么叫做算术平方根?什么样的数有算术平方根?

(3)立方根的概念是什么?它有怎样的性质?

2.(教材第69页一起探究)如图(1)所示,在半透明纸上画一个两条直角边都是2cm的直角三角形ABC,然后剪下这个三角形,再沿斜边上的高CD剪开后,拼成如图(2)所示的正方形.

这个三角形的面积和拼成的正方形的面积是不是相等的?面积是多少?

让学生求出面积,提问:如果设正方形的边长为xcm,那么x与这个正方形的面积有怎样的关系?

引导学生说出:x2=2,因为正方形的边长是正数,所以x是2的算术平方根,即.

是一个什么样的数呢?

[设计意图]　通过复习使前后知识衔接,为学习后续知识做铺垫;学生通过动手操作,培养学生的动手能力,学生在回答问题的过程中积极思考,加深对无理数的认识.

导入二:

几千年来,人们为了寻求圆周率π的精确的近似值付出了巨大的努力,我国南北朝时期伟大的数学家祖冲之,第一个将圆周率π精确到小数点后的第七位,这一记录保持了近一千年.进入电脑时代,圆周率的计算突飞猛进,1999年,日本学者金田安政及合作者在一台日立SR—800计算机上算得的π的值竟然精确到了2061亿多位.现在,计算π的近似值已成为测试计算机运行速度的一个重要指标,那么π到底是一个什么样的数呢?

[设计意图]　利用圆周率π ——这个学生早已熟悉的数,把数进一步扩充,使学生认识到这个数与以前学过的有理数不同,增加神秘感和学生的好奇心,使学生产生浓厚的学习兴趣.

导入三:

师:随着年龄的增长、学习的深入,我们对数的认识也在不断地更新,请同学们回忆一下,到目前为止,我们已经认识了哪些数?(举一个具体的例子)

生:(学生可能说出的数)自然数、整数、分数、正整数、负整数、正分数、负分数、小数、有限小数、无限循环小数、无限不循环小数、偶数、奇数、质数、合数、正数、负数……

(让学生大胆地说,一个学生讲完,其他学生补充,教师在黑板上记录)

师:不得了,我们已经认识了这么多数,那么这些数与数之间有什么关系,你能不能帮我整理一下,理出一个思路呢?

比如:整数(板书),你能把属于整数的都找出来吗?

生:正整数、负整数、0、自然数、素数(质数)、合数、奇数、偶数.

(在开始记录的数的前方编号①)

师:同样,分数(板书),你能把属于分数的都找出来吗?

生:正分数、负分数、有限小数、无限循环小数、带分数.(在开始记录的数的前方编号②)

师:剩下还有一些数,它们是整数吗?是分数吗?

如果学生说到“小数”:首先小数有哪几类?

有限小数可以化为分数(如1.3);

无限循环小数可以化为分数(如0.);

还有没有其他的小数呢?(学生举例:π)它是整数吗?是分数吗?那到底是什么数呢?

如果学生说到“无限不循环小数π”,它是整数吗?是分数吗?谁知道π是多少?3.1415926…(追问:后面呢?)课件展示π,尽可能位数多一点,让学生观察其特点(无限、不循环).

这样的数,生活中还有吗?我们来玩一个拼图游戏.

[设计意图]　使学生重新认识以前学过的数,了解数的发展和扩充,逐步深化,最后引出无限不循环小数,即本节课要研究的内容——无理数.

二、新知构建：

活动一:无理数的初步感知

思路一

　　[过渡语]　这个数是客观存在的,导入一中直角边长是2的等腰直角三角形的斜边上的高以及边长是1的正方形的对角线长都是.

1.大家谈谈——初步感知

【课件1】

1.是整数吗?-3,-2,-1,0,1,2,3的平方等于2吗?你认为有平方后等于2的整数吗?

2.是分数吗?-,-,-,-,,,,的平方等于2吗?你认为有平方后等于2的分数吗?

3.会是有理数吗?

说明:引导学生在小组内交流,使学生认识到:

(1)整数的平方是整数,没有平方后得2的整数.

(2)分数的平方是分数,没有平方后等于2的分数.

(3)平方后等于2的数既不是整数,也不是分数,所以不是以前熟悉的有理数.

想一想:到底是什么样的数呢?

2.计算机计算——强化认识

让学生用计算机计算,展示计算机计算的结果,学生观察,说出自己的看法.

可设置如下问题:

(1)小数可以分成几类?

学生得出:小数

(2)是什么样的小数?

(是无限不循环小数)

教师展示圆周率π=

3.1415926535897932384626433832795028841971….实际上,圆周率π也是一个无限不循环小数.

[设计意图]　对无理数有个初步的认识,和π都是无限不循环小数,让学生了解它们不是以前学过的有理数,渗透知识的形成过程.

思路二

(针对导入一)

1.活动:请同学们拿出准备好的两个边长为1的小正方形和剪刀,将小正方形沿着对角线剪开,设法重新拼成一个大正方形,大家动手试一试.

师:经过同学们的努力,基本都完成了任务,请一位学生把自己拼的图在黑板上展示出来.

师:你们知道这个大正方形的面积是多少吗?为什么?

生:它的面积为2,因为它是由两个面积为1的小正方形拼成的.

师:你知道了这个图形的面积,对这个正方形,你还想知道它的一些什么信息呢?

生:边长.

师:你知道它的边长是多少吗?

如果有学生说出,先表扬(看来你对数学是很有兴趣的,肯钻研),那么是什么数呢?若回答1.414…(后面呢?);若回答无限不循环小数(你怎么知道的呢?).

2.为了便于探究这个问题,我们假设拼成的大正方形的边长为x,那么x2=2.

探究:(1)x是整数吗?

生:因为12=1,22=4,x是1和2之间的数,1<x<2,所以x不可能是整数.

(2)x是分数吗?

通过EXCEL,让学生寻找是否有这样的一个分数,它的平方正好是2?

找不到这样的一个分数,它的平方正好是2(直观感受),x也不是分数.

换个角度:如果x是分数,那么两个相同的分数相乘,积一定还是分数,不可能是2的.

(3)x是怎样的数?

1.5×1.5=2.25,1.41×1.41=1.9881,

1.4×1.4=1.96,1.42×1.42=2.0164,

1.4<x<1.5,1.41<x<1.42,1.414<x<1.415…

探索中,得到1.4<x<1.5,1.41<x<1.42,1.414<x<1.415……由此可以得到:x是一个无限小数,它总介于两个有限小数之间,但永远找不到这样的一个有限小数等于x,同时,这些小数都不是循环小数.

按照这种方法探索下去,x的值是

1.414213562373095048801688724209698078569….

师:你们发现这个数和π有什么共同点吗?

生:无限、不循环.

[设计意图]　通过拼图得到,然后采用逐步逼近的方法,通过计算与类比让学生发现这个数是无限不循环小数,在操作的过程中,着重学生动手能力和计算能力的培养,让学生主动发现问题、研究问题,体现了知识的获取过程.

活动二:无理数概念的形成

1.形成概念

　　[过渡语]　通过刚才的探究和计算,我们已经知道了和π都是无限不循环小数,那么有理数可以化成怎样的小数呢?

想一想:(1)什么叫做有理数?

(2)整数和分数都可以化成怎样的小数?

说明:整数可以写成小数部分是0的小数.如-10=-10.0,-1=-1.0,0=0.0等.

师:任何分数都可以化成怎样的小数?

让学生把-,-,,,-,,化成小数,并观察其特点.

归纳:分数可以写成有限小数或无限循环小数.

思考:任意给定一个分数,你能将它写成有限小数或无限循环小数吗?请你利用计算器再计算几个分数.

得出结论:有理数总可以写成有限小数或无限循环小数.

那么我们思考一下,是不是有理数?为什么?

通过前面的学习,学生可以知道=1.41421356…,它是一个无限不循环小数.

我们把无限不循环小数叫做无理数.其实,无理数有很多,很多数的平方根和立方根都是无理数,如:=1.732…,=2.23606…,=1.25992…,=2.15443…等都是无限不循环小数,它们都是无理数.

[知识拓展]　(1)判断一个数是不是无理数,一是看它是不是无限小数;二是看它是不是不循环小数,满足“无限”和“不循环”这两个条件,才是无理数.

(2)初中阶段所学的无理数主要包含以下几种:①特殊意义的数:如圆周率π及含π的一些数,如2-π等;②开方开不尽的数,如,-,等;③特殊结构的数,如2.01001000100001…(每两个1之间依次多一个0)等.

(3)带根号的数不一定是无理数,如=0,=3,它们不是无理数,而是有理数,无理数也不一定带根号,如π.

学习了有理数和无理数两个概念后,下面我写几个数,你们来判断一下,它是有理数还是无理数?

-3,1.1414,2π,0.1010010001…(每两个1之间依次多一个0),-0.1010010001…(每两个1之间依次多一个0).

师:你还能写出一个无理数吗?

教师说明:无理数包括正无理数和负无理数,你们可以举出一些实例吗?

强调:一般a是一个正无理数,那么-a是一个负无理数.

我们把有理数和无理数统称为实数.

想一想:有理数与无理数有什么区别?

(1)有理数总可以写成有限小数或无限循环小数的形式,而无理数是无限不循环小数.

(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成分母是1的分数),而无理数不能化成分数的形式.

[设计意图]　引导学生认识到有理数可以化成有限小数或无限循环小数的形式,使学生类比有理数的特点,总结出无理数的概念.了解数的扩充的必要性和实数的意义,提高学生对数的理解.

2.历史背景

　　[过渡语]　实际上,第一个发现无理数的人却被抛进大海,你想知道这其中的故事吗?

【课件2】　小故事:2500年前,当时的数学家毕达哥拉斯认为“宇宙中存在的数都是有理数”,拥护他的人认为毕达哥拉斯是至高无上的,他所说的一切都是真理.但后来有一位年轻学者希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线的长不能用有理数来表示,这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条,为此希伯索斯被投入大海.他为真理献出了宝贵的生命,但真理是不可战胜的.后来人们正视了希伯索斯的发现,也就是我们前面谈到的x2=2中的x不是有理数.

我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的,我们一方面应积极地学习这些知识,另一方面我们也不能死搬教条,要大胆质疑,如不这样,科学就会停滞不前,要向希伯索斯学习,学习他为追求真理而大无畏的精神.

[设计意图]　通过史实介绍,让学生受到思想教育,培养学生追求真理的精神,从而体现数学课堂中对学生的思想教育.

三、课堂小结：

1.实数

2.无理数满足的三个条件:(1)首先是小数;(2)其次是小数中的无限小数;(3)并且是无限小数中的不循环小数.