初中数学冀教版八年级上册17.3 勾股定理教案

17.3勾股定理（1）

教学目标

【知识与能力】

1.经历探索勾股定理的过程,发展合情推理的能力,体会数形结合的思想.

2.会初步应用勾股定理解决实际问题.

【过程与方法】

1.经历“测量——猜想——总结——验证”等一系列过程,体会数学定理发现的过程.

2.在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养语言表达能力和初步的逻辑推理能力.

3.在探索的过程中,体会数形结合、由特殊到一般及化归等数学思想方法.

【情感态度价值观】

通过让学生参加探索与创造,获得参加数学活动成功的经验.

教学重难点

【教学重点】

勾股定理的探索过程.

【教学难点】  

勾股定理的应用.

课前准备

多媒体课件

教学过程

一：新课导入：

导入一:

【课件1】　下图是三国时期数学家赵爽用来证明勾股定理的图形和希腊政府为纪念希腊历史上著名的数学家毕达哥拉斯而发行的一张邮票,观察这两个图形,你有什么感想?

教师引导学生思考,各抒己见,发表自己的见解.

[设计意图]　从现实生活中提出的“赵爽弦图”和“希腊邮票”,为学生能够积极主动地投入到探索活动中创设情境,激发学生学习热情,同时为探索勾股定理提供背景材料.

导入二:

【课件2】　如图所示,强大的台风使得一个旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处.旗杆折断之前有多高?

师:在直角三角形中,任意两条边确定了,另一边确定吗?为什么?

在直角三角形中,任意两条边确定了,另一边也随之确定了,事实上,古人发现,直角三角形三边长度的平方存在着一个特殊的数量关系.让我们一起去探索吧!

[设计意图]　创设问题情境,造成学生的认知冲突,激发学生的求知欲望.

导入三:

【课件3】　相传两千多年前,古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客.在宴席上,其他的宾客都在尽情欢乐,只有毕达哥拉斯却看着朋友家地面所铺的瓷砖发起呆来.原来,朋友家的地面是用一块块直角三角形形状的瓷砖铺成的,黑白相间,非常美观大方.主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪,就想过去问他,谁知,毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子,站起来,大笑着跑着回家去了.原来,他发现了瓷砖上的三个正方形存在着某种数学关系.

[设计意图]　学生对故事中的问题很感兴趣,激发了学生探究知识的欲望,从而自然地引入本节课要探究的问题.

二：新知构建：

活动:探究勾股定理

　　[过渡语]　直角三角形的三边具有特殊的关系,刻画这种关系的命题就是著名的勾股定理.下面我们就来学习它.

思路一

探究1:测量计算——初步感知

【课件4】　学生活动:

1.画一个直角三角形,使直角边分别为3cm和4cm,测量一下斜边是多少?

2.画一个直角边分别是6cm和8cm的直角三角形,测量一下斜边是多少?

3.画一个直角边分别是5cm和12cm的直角三角形,测量一下斜边是多少?

问题:你能总结出直角三角形三边之间的关系吗?

[设计意图]　帮助学生感知直角三角形三条边的长度存在特殊的关系,进而激发学生的探索欲望.

思路二

【课件5】　任意画几个直角三角形,分别度量三条边,把长度标在图形中,计算三边的平方,把结果填在表格中.

师:观察表格,有什么发现?

生1:a2+b2=c2.

生2:两直角边的平方和很接近斜边的平方.

师:很精确,他用了很接近这个词,非常棒,有哪些数据符合a2+b2=c2?

生:3,4,5;6,8,10;2,1.5,2.5;5,12,13;1.2,1.6,2……

师:哪些数据不符合a2+b2=c2?

生:2,4,4.5;5,8,9.5……

师:怎样验证直角三角形三边之间的平方关系呢?

探究2:面积推理勾股定理

　　[过渡语]　刚才的探究活动,我们只是通过测量和计算发现了直角三角形三条边之间存在的特殊关系,那么我们怎样去验证呢?已知直角三角形的两条直角边能不能求出斜边呢?

活动1:探索边长为3,4,5的直角三角形的情况

【课件6】　如图所示,每个小正方形都是边长为1的小正方形,在所围成的ΔABC中,

∠ACB=90°.图中以AC,BC,AB为边的正方形的面积分别是多少?这三个正方形的面积之间具有怎样的关系?

问题:

(1)以AC为边的正方形的面积是　　　　; 

(2)以BC为边的正方形的面积是　　　　; 

(3)从AB为边的正方形的面积是　　　　; 

(4)三个正方形的面积之间关系是　　　　+　　　　=　　　　. 

活动2:探索直角边长为1的等腰直角三角形

刚才我们接触到的是一般的直角三角形,那么对于等腰直角三角形是否也存在这个关系呢?

思路一

【课件7】　如图所示的是用大小相同的两种颜色的正方形地砖铺成的地面示意图,

∠ACB=90°.分别以AC,BC,AB为边的三个正方形(粗线标出)的面积之间有怎样的关系?

学生观察发现:以AC,BC为边的正方形的面积都是1.

说明:对于以AB为边的正方形的面积,教师可让学生通过数格子的方法求出其面积,也可以将其分成四个等腰直角三角形的面积来求.

思路二

【课件8】　如图所示,直角三角形三边的平方分别是多少?它们满足猜想的数量关系吗?你是如何计算的?

师:在这幅图中,边长的平方是如何刻画的?我们的猜想如何实现?

生:用正方形A,B,C刻画的,就是证明A+B=C.

师:准确地说呢?

生:是用三个正方形A,B,C的面积刻画的,就是证明正方形A的面积加上正方形B的面积等于正方形C的面积.

师:请同学们快速算一算正方形A,B,C的面积.

(学生交流正方形C的面积的求法,教师巡视点评.)

生:A的面积是9,B的面积也是9,C的面积是18.

师:你用什么方法得到正方形C的面积为18?

生1:我先数整个格子有12个,两个三角形格子拼成一个正方形格子,能凑6个,一共是18个.

生2:把正方形对折,得到两个三角形.(学生板演,并列式计算.)

生3:分成四个全等的直角三角形.(学生板演,口述面积求法.)

师:方法不错,你们很善于动脑筋,我们用数格子、分割图形的方法得到正方形C的面积,还有什么方法可以得到呢?

活动3:类比发现,形成结论

【课件9】　如图所示,在ΔABC中,∠ACB=90°,请你猜想:分别以AC,BC,AB为边的三个正方形的面积之间是否也具有上述我们探究的面积之间的关系?若具有这种关系,请用图中的RtΔABC的边把这种关系表示出来.

学生思考、交流,教师请学生口答,并板书.

教师总结:在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.

如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.

探究3:推理验证勾股定理

　　[过渡语]　我们通过举例得出勾股定理,那么能不能设计一种方案验证勾股定理呢?

与小组同学交流、讨论,拿出设计方案,并给出合理的解释.

组1:我们的设计方案是:准备四块直角边分别为a,b,斜边为c的直角三角形的纸板,拼出如下图形:

我们发现外部是一个大正方形,边长为c,内部是一个小正方形,其边长是a-b,四个直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积.

ab×4+(a-b)2=c2,

化简后为:a2+b2=c2.

组2:我们也准备了四个直角三角形,两条直角边分别为a,b,斜边为c.

我们是这样拼的,如图所示.

外部是一个边长是a+b的正方形,内部是一边长为c的小正方形.

四个直角三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积.

ab×4+c2=(a+b)2,

化简后为:a2+b2=c2.

师:两个组的设计都非常精彩,你们利用了我们比较熟悉的面积的有关知识,还有其他方案吗?

组3:我们准备了两个直角三角形,两条直角边为a,b,斜边为c.

我们是这样拼的,如图所示.

我们发现:两个直角三角形这样摆放,若连接A,B两点,就构成了一个直角梯形.直角梯形的上底为b,下底为a,高为a+b.直角梯形是由两个直角三角形和一个直角边为c的等腰直角三角形构成的.

直角梯形的面积=两个直角三角形的面积+等腰直角三角形的面积.

(a+b)(a+b)=ab×2+c2,

化简后为:a2+b2=c2.

师:以上三个小组的设计方案,实质上都渗透了数学的转化思想,将复杂问题转化、分解为简单问题,或将陌生的问题转化为熟悉的问题来解决.

方法都是“拼凑法”,先拼出一个图形,再利用两种不同的方法求出面积的表达式.由于一个图形的面积不变,因此将两种面积的表达式用等号连接起来,再化简,就可能得出我们要探究的结论.

说明:我们古代把直角三角形较短的直角边叫做“勾”,较长的直角边叫做“股”,斜边叫做“弦”.因此,直角三角形三边之间的关系称为勾股定理.

勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.

思考:

(1)运用此定理的前提条件是什么?

(2)公式a2+b2=c2有哪些变形公式?

(3)由(2)知在直角三角形中,只要知道　　　　条边,就可以利用　　　　求出　　　　. 

指导学生完成教材第151页“做一做”.

[知识拓展]　(1)由勾股定理的基本形式a2+b2=c2可以得到一些变形关系式,如a2=c2-b2=(c+b)(c-b);b2=c2-a2=(c+a)(c-a).

(2)在钝角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,若c为最大边长,则有a2+b2<c2,在锐角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,若c为最大边长,则有a2+b2>c2.

[设计意图]　通过探索活动,调动学生的积极性,给学生充分的时间与空间讨论、交流,鼓励学生敢于发表自己的意见,感受合作的重要性.

让学生经历“独立思考——小组讨论——合作交流”的环节,进一步加深对勾股定理的理解,并激发学生的爱国热情.

三：课堂小结：

1.勾股定理

如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

2.勾股定理的变形公式a=;b=;c=.

要求直角三角形中某一边的长度,就要知道其他两边的长度.