2021-2022学年吉林省长春二中、东北师大附中高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年吉林省长春二中、东北师大附中高二（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共32.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若数列的前项和为，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 两旅客坐高铁外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知高铁一等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合要求的是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

4. 已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则(    )

A.  B.
C.  D.

5. 一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放入天平右盘，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则该顾客实际所得黄金(    )

A. 等于 B. 大于 C. 小于等于 D. 不能确定

6. 市场上某种山品由三个厂家同时供应，甲厂家的供应量是乙厂家的倍，乙、丙两个厂家的供应量相等，且甲、乙、丙三个厂家的产品的次品率分别为，，，则市场上该商品的次品率为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数无最大值，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共16.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 如图是相关变量，的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程，相关系数为则(    )

A.  B.
C.  D. ，

10. 在二项式的展开式中，正确的说法是(    )

A. 常数项是第项 B. 各项的系数和是
C. 第项二项式系数最大 D. 奇数项二项式系数和为

11. 如图是一块高尔顿反示意图：在一木块上钉着苦干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为，，，，，用表示小球落入格子的号码，则(    )

A.
B.
C.
D.

12. 若存在，使得对于任意非负实数，恒成立，则下列选项正确的是(    )

A. 若，则的最大值为
B. 若，则的最大值为
C. “的最大值为”的充要条件是“”
D. 若，则的最大值为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13. 某个部件由三个元件按如图所示的方式连接而成，元件或元件正常工作，且元件正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命单位：时均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过小时的概率为______．

14. 已知，之间具有线性相关关系，若通过组数据得到的回归方程为，且，则______．
15. 不等式的解集为，则不等式的解集为______．
16. 已知函数的定义域和值域均为，的导函数为，且满足，则的范围是______．

四、解答题（本大题共6小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知函数，为常数．
    若在处有极值，求实数的值；
    若在上是减函数，求实数的取值范围．
18. 本小题分
    在等差数列中，，且前项和．
    求的通项公式；
    设，求．
19. 本小题分
    政府为了吸引更多对环境保护的投入资金，拟发行“稳健型”和“风险型”两种投资债券，根据长期收益率市场预测，投资“稳健型”债券的年收益与投资额成正比，其关系如图；投资“风险型”债券的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图．
    
    分别求出两种债券和的函数关系式；
    某企业预计拿出万元资金，全部用于这两种债券投资，请问如何分配资金投入能使偷资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
20. 本小题分
    石墨烯是一种以杂化连接的碳原子紧密堆积成单层二维蜂窝状晶格结构的新材料．石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学等方面具有重要的应用前景．从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图．
    根据等高堆积条形图，填写如表列联表，并依据的独立性检验，分析试验结果与材料是否有关；单位：次．

研究人员得到石墨烯后．再制作石墨烯发热膜有三个环节：透明基底及胶层；石墨烯层；表面封装层．第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立．已知生产吨石墨烯发热膜的固定成本为万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为元，其余环节修复费用均为元．试问如何定价，才能实现每生产吨石墨烯发热膜获利不低于万元的目标？
附：，其中．

21. 本小题分
    某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：游客投球目标为由近及远设置的，，三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费元，投进桶，奖励游客面值元的景区消费券；投进桶，奖励游客面值元的景区消费券；投进桶，奖励游客面值元的景区消费券；投不进则没有奖励．游客各次投球是否投进相互独立．向桶投球次，每次投进的概率为，记投进次的概率为，当取到最大值时的记作
    求的值；
    游客甲投进，，三桶的概率分别为，若他投球一次，他应该选择向哪个桶投球更有利？说明理由．
22. 本小题分
    已知函数，．
    若，求函数的单调区间；
    当时，恒成立，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，
，
则．
故选：．
求出集合，，利用交集定义能求出．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意，当时，，解得，
当时，，
整理，得，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
．
故选：．
先根据题干已知条件并结合公式进行推导即可发现数列是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的求和公式即可计算出的值．
本题主要考查等比数列的判别及求前项和问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，等比数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 

3.【答案】 

【解析】解：依题意，靠左侧窗口的座位号均为奇数，构成以为首项，为公差的等差数列，
故其通项，显然选项A，，不是靠左侧穾口的座位号，而满足；
靠右侧窗口的座位号均为偶数，构成以为首项，为公差的等差数列，
则其通项，显然选项A，，，都不是靠右侧窗口的坐位号，
所以座位号码符合要求的是，．
故选：．
依题意，靠左侧窗口的座位号均为奇数，构成以为首项，为公差的等差数列，靠右们窗口的座位号均为偶数，构成以为首项，为公差的等差数列，分别求出其通项公式，从而可得出答案．
本题考查归纳推理，考查学生的推理能力，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，定义在上的奇函数满足，
则有，即，则是以为周期的函数，
则有，，，
在区间上是增函数，而为奇函数，则在上为增函数，
则有，即，
故选：．
根据题意，分析函数的周期，可得，，，结合函数的单调性分析可得答案．
本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及函数的周期性，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为，右臂长为，则，
设先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为，
由杠杆的平衡原理可得，，，
，
下面用作差法比较与的大小：
，
，
即该顾客实际所得黄金大于克，
故选：．
由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为，右臂长为，则，设先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为，利用杠杆的平衡原理可得，，，再利用作差法比较与的大小即可．
本题主要考查函数的实际应用，考查了作差法比较大小，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意可设乙厂家的供应量为，则甲厂家为，丙厂家为，
又甲、乙、丙三个厂家的产品的次品率分别为，，，，
故甲、乙、丙三个厂家的产品的次品量为：，，，
所以市场上该商品的次品率为，
故选：．
根据题意可设乙厂家的供应量为，则甲厂家为，丙厂家为，算出总次品量即可．
本题考查频率计算相关知识，属于简单题．
 

7.【答案】 

【解析】解：在同一坐标系内作出函数与函数的图象如图，

由图可知，要使函数无最大值，
则实数的取值范围是．
故选：．
在同一坐标系内作出函数与函数的图象，结合题意，数形结合得答案．
本题考查分段函数的应用，考查数形结合思想，是中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意构造函数，，
则，
设，，
，
故在单调递增，即，
即，故在上单调递增，
所以，可得，故，
利用三角函数线可得时，，
，即，
，故，
综上：，
故选：．
根据题意构造函数，，可判断与，再利用三角函数线可判断与．
本题考查了构造函数比较大小，以及三角函数线相关知识，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据相关变量，的散点图知，变量、具有负线性相关关系，且点是离群值；
方案一中，没剔除离群值，线性相关性弱些，成负相关；
方案二中，剔除离群值，线性相关性强些，也是负相关；
所以相关系数．
故选：．
根据散点图知变量、具有负线性相关关系，且点是离群值；
剔除离群值后，线性相关性强些，是负相关，由此得出正确的结论．
本题考查了散点图与线性相关关系的应用问题，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：展开式的常数项为，即为第项，故A错误，
令，则展开式的各项系数和为，故B正确，
因为，所以展开式的第项的二项式系数最大，故C正确，
奇数项的二项式系数和为，故D正确，
故选：．
根据二项式定理求出常数项即可判断；令，由此即可判断；根据的值以及二项式系数的性质即可判断；根据二项式系数和的性质即可判断．
本题考查了二项式定理的应用，涉及到各项系数和以及二项式系数的性质，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，则，
所以，故A正确；
，
，
则成立，故B成立，
，故C不正确；
，故D正确．
故选：．
设，则，分别计算出概率，计算出方差后可判断各选项．
本题考查离散型随机变量的期望与方差，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，
若，至少有一个等于，则对于任意非负实数，恒成立的充要条件是；
若，均非零，即，时，，
，，，当且仅当取等号，
此时，
设，
当时，单调递减，故，此时；
当时，，此时；
当时，单调递增，故，此时．
故B错误，C正确．
当时，，故A正确．
当时，，故D正确．
故选：．
对于，若，至少有一个等于，则，若，均非零，则可得，令，设，根据与的大小关系进行分类讨论，逐项判断即可．
本题考查了不等式的恒成立问题，考查函数的单调性与换元法，属于难题．
 

13.【答案】 

【解析】解：三个电子元件的使用寿命单位：时均服从正态分布，
三个电子元件的使用寿命超过小时的概率为，
设超过小时时，元件，元件至少有一个正常，超过小时时，元件正常工作，该部件使用寿命超过小时，
则，，
，
故答案为：．
先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过小时的概率为 ，而所求事件“该部件的使用寿命超过小时”当且仅当“超过小时时，元件、元件至少有一个正常”和“超过小时时，元件正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可．
本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，属基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：依题意知，，
因为回归方程为，
所以可以计算出，
所以，
故答案为：．
依据回归方程过点，即可求得的值．
本题考查了线性回归方程的性质，属于基础题．
 

15.【答案】或 

【解析】解：根据题意，不等式的解集为，
必有，且方程的两个根为和，则有，
变形可得：，，
对于不等式，即，变形可得，解可得或，
即不等式的解集为或；
故答案为：或．
根据题意，由不等式的解集可得，且方程的两个根为和，由此分析可得、、之间的关系，由此可得式，变形可得，解可得答案．
本题考查一元二次不等式和分式不等式的解法，涉及根与系数的关系，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：令，则，
故在递增，，
故，，
令，则，
故在递减，故，
，故，
故答案为：
先构造函数，，再根据函数的单调性求出即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．
 

17.【答案】解：函数的定义域为，
由题意可得，解得，
所以，，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，函数在处取得极小值，合平题意．
综上所述，．
解：由题意可知对任意的恒成立，则，
因为函数在上单调递减，故．
故实数的取值范围是． 

【解析】由已知可得，可求得的值，再利用导数分析函数的单调性，可得结果；
由题意可知对任意的恒成立，由参变量分离法可得，即可求得实数的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：设等差数列的公差为，
因为前项和，所以，即，
又，
所以，解得，
所以；
，
所以，
所以，
两式相减得，，
所以． 

【解析】设等差数列的公差为，根据等差数列的性质可求，列出方程组求解，，代入通项公式即可；
利用错位相减法进行求和即可．
本题考查了等差数列得通项公式以及错位相减法求和问题，属于中档题．
 

19.【答案】解：依题意可设，，
，．
．
设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，年收益为万元，
依题意得：．
则．
令，且，．
所以．
所以按照债券类产品万元，股票类投资为万元分配资金，收益最大，最大收益为万元． 

【解析】可设，，然后分别代值计算即可求得函数关系式；
设投资债券类产品万元，则股票类投资为万元，年收益为万元，可得，然后利用导数研究的最大值即可．
本题主要考查利用函数解决实际问题以及利用函数的导数求最值，属于中档题．
 

20.【答案】解：列联表如下：

，
依据的独立性检验，试验结果与材料有关．
设每生产吨石墨烯发热膜，所需的修复费用为万元，
由题意可知，所有可能取值为，，，，，，
，
，
，
，
，
，
故的分布列为：

故E，
故石墨烯发热膜的定价至少应为万元，才能实现每生产吨石墨烯发热膜获利不低于万元的目标 

【解析】根据等高堆积条形图，补充列联表，再结合独立性检验公式，即可求解．
设每生产吨石墨烯发热膜，所需的修复费用为万元，由题意可知，所有可能取值为，，，，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式，独立性公式，属于中档题．
 

21.【答案】解：次向桶投球投进次的概率．
．
令，得．
当时，；当时，．
在上单调递增，在单调递减，
所以的最大值点．
由得游客甲投进，，三桶的概率分别为．
设投进桶的纯收入为元，；
设投进桶的纯收入为元，；
设投进桶的纯收入为元，；
因为
所以游客甲选择向桶投球更有利． 

【解析】根据概率公式求得概率，利用导数求得最大值点；
求出游客投进，，三桶纯收入的期望，比较可得．
本题考查离散型随机变量的期望，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：，
则的定义域为，，
所以，解得．
此时，
令，其中，，
所以，函数在上单调递增，且，
当时，，则；
当时，，则．
所以函数的减区间为，增区间为．
令，，
只需，可得，，
记，，
则，，
当时，因为，则函数在上为增函数，
所以，所以函数在上为减函数，
所以，此时当时，恒成立；
当时，令，则，
故函数在上单调递减，所以，
同可知，当时，恒成立；
当时，由可知，函数在上为减函数，
所以，
构造函数，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，则，
所以，
所以，
所以存在使得，
当时，，此时函数在上单调递增，
此时，则函数在上单调递增，
此时，不合乎题意．
综上所述，实数的取值范围是． 

【解析】由可求得的值，再利用导数与函数单调性的关系可求得函数的单调增区间和减区间；
令，，只需，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，验证对任意的能否恒成立，综合可得出实数的取值范围．
本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性与最值，考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．