2021-2022学年上海市奉贤区致远高级中学高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年上海市奉贤区致远高级中学高二（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知两条直线，的方程为：和：，则是“直线”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

2. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录表的数据的满足已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法共有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

4. 已知，为平面内两个定点，过该平面内动点作直线的垂线，垂足为若，其中为常数，则动点的轨迹不可能是(    )

A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）

5. 不等式的解集为______．
6. 不等式组的解集为______．
7. 已知等差数列的首项为，公差为，则______．
8. 已知数列的前项和为，数列满足，则______．
9. 在的展开式中，的系数为______．
10. 已知正方体的棱长为，是棱的中点，则与的夹角的大小为______．
11. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为的概率是______ ．
12. 已知集合，，若，则实数的取值范围是______．
13. 不等式等号成立时的取值范围为______结果用区间表示
14. 若直角三角形斜边长等于，则直角三角形面积的最大值为______．
15. 已知直线：和圆：，______时，被截得的弦长最短．
16. 已知是抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若为的中点，则          ．

三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 如图，在正四棱锥中，，、分别为、的中点，平面与棱交于点，求平面与平面所成二面角的大小；
    如图，在长方体中，，求顶点到平面的距离．

18. 已知等差数列的前项和为，且．
    Ⅰ求数列的通项公式；
    Ⅱ对任意，将数列中不大于的项的个数记为求数列的前项和．
19. 某射击运动员进行了次射击，假设每次射击命中目标的概率都为，且各次命中目标与否是相互独立的．用表示这次射击中命中目标的次数，求随机变量的分布列和期望．
20. 已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点，且．
    求的离心率；
    设是与的公共点．若，求与的标准方程．
21. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了件产品，产品的质量情况统计如下表：

甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
能否有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：若，则：和：，，
所以直线，满足充分性；
若直线，则，解得，满足必要性．
所以是“直线”的充要条件．
故选：．
根据充分必要条件的定义，分别判断其充分性和必要性即可．
本题主要考查充分条件、必要条件，考查两直线垂直的充要条件，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由，当时，，
则．
故选：．
根据，关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解．
本题考查了指数与对数的互化计算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为每名同学只去个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，
甲场馆从人中挑一人有：种结果；
乙场馆从余下的人中挑人有：种结果；
余下的人去丙场馆；
故共有：种安排方法；
故选：．
让场馆去挑人，甲场馆从人中挑一人有：种结果；乙场馆从余下的人中挑人有：种结果；余下的人去丙场馆；相乘即可求解结论．
本题考查排列组合知识的应用，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：以所在直线为轴，中垂线为轴，建立坐标系，
设，、；
因为，
所以，
即，当时，轨迹是圆．
当且时，是椭圆的轨迹方程；
当时，是双曲线的轨迹方程．
当时，是直线的轨迹方程；
综上，方程不表示抛物线的方程．
故选：．
建立直角坐标系，设出、坐标，以及坐标，通过已知条件求出的方程，然后判断选项．
本题考查曲线轨迹方程的求法，轨迹方程与轨迹的对应关系，考查分类讨论思想、分析问题解决问题的能力以及计算能力．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式来解．
由不等式，可得，解得．
【解答】
解：由不等式可得，
，
故不等式的解集为，
故答案为：．  

6.【答案】 

【解析】解；原不等式组化简为，
故答案为：．
解一元二次不等式取交集即可．
本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为等差数列的首项为，公差为，
则．
故答案为：．
由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，
当时，．
当时，，所以．
因为，所以数列是首项为、公比为的无穷等比数列，
所以．
故答案为：．
根据，作差即可求出的通项公式，从而得到，即可得到数列是首项为、公比为的无穷等比数列，再根据等比数列前项和公式及数列极限计算可得．
本题主要考查由前项和公式求通项公式的方法，数列中极限的计算，等比数列求和公式等知识，属于中等题．
 

9.【答案】 

【解析】解：展开式的通项公式为：，，，，，

令，可得：，则的系数为，
故答案为：．
首先写出展开式的通项公式，然后令的指数为，进而可以求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：

以为坐标原点，为轴的正方向，为轴的正方向，为轴的正方向建立直角坐标系．
因此可得，，，
所以出，，可得，，，
所以得：，，
又两向量的夹角取值范围为，
所以与的夹角的大小为．
故答案为：．
以为坐标原点，为轴的正方向，为轴的正方向，为轴的正方向建立直角坐标系．求出，，根据向量数量积的运算公式求出，，再有向量夹角的取值范围求出与的夹角的大小．
本题考查了异面直线所成角的计算问题，也考查了数形结合应用思想，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数与十位数有一个为奇数，一个为偶数，共有
记：“个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数为”为事件，则包含的结果：，，，，共个
由古典概率的求解公式可得，．
故答案为：．
先求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数，然后再求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数，由古典概率的求解公式可求．
本题主要考查了古典概率的求解公式的应用，解题的关键是灵活利用简单的排列、组合的知识求解基本事件的个数．
 

12.【答案】 

【解析】解：若，则；
；
若，则应满足：，解得；
综上得；
实数的取值范围是．
故答案为：．
根据可分，和两种情况：时，；时，，这样便可得出实数的取值范围．
考查子集的概念，描述法表示集合，注意不要漏了的情况．
 

13.【答案】 

【解析】解：由绝对值的三角不等式得，
当且仅当时，等号成立，
即的取值范围为时，等号成立，
故答案为：．
易知恒成立，等号成立条件为，易得答案为．
本题考查绝对值的三角不等式，属基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，设直角三角形的直角边为，，面积为，直角三角形斜边长等于，，
则，当且仅当时，等号成立，故这个直角三角形的面积最大值为．
故答案为：．
根据题意，设直角三角形的直角边为，，面积为，由勾股定理得，利用基本不等式的性质可得，当且仅当时，等号成立，即可得答案．
本题考查基本不等式的实际应用，注意基本不等式的条件，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：圆的方程可化为：，直线：，即恒过，
如图所示，当圆心到直线的距离最大时，弦的长度最短，
此时，又，所以直线的斜率为，则，，

故答案为：．
由题意，根据直线：恒过，且当时弦的长度最短，结合直线垂直时斜率的关系求解即可．
此题考查了直线与圆相交的性质，两直线垂直时斜率满足的关系，恒过定点的直线方程，圆的标准方程，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．
求出抛物线的焦点坐标，推出坐标，然后求解即可．

【解答】

解：抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．
由为的中点，可知的横坐标为，则的纵坐标为，
．
故答案为．

17.【答案】解：连接，设，连接，交于，连接，
设平面平面．
因为，，故EF，
而平面，平面，
故EF平面，而平面，平面平面，
故EF，故BD，
由正四棱锥可得四边形为正方形，故AC，
即，所以，
由正四棱锥及为正方形对角线的交点即中心可得：
平面，而平面，故，
而平面，平面，，
故平面，而平面，故，
故为的平面角．
因为，故，
因为为的中位线，故，
故在直角三角形中，，故．
而为锐角，故．
故平面与平面所成二面角的大小．

如图，连接，，，，，，
则，
又，，
故，
设顶点到平面的距离为，则，故．
 

【解析】连接，设，连接，交于，连接，设平面平面可证为的平面角，利用解直角三角形可求其大小．
利用等积法可求点到平面的距离．
本题主要考查二面角的计算，点面距离的计算，等体积法的应用等知识，属于中等题．
 

18.【答案】解：由已知得：
解得，，
所以通项公式为．
由，得，
即．

是公比为的等比数列，
． 

【解析】由已知利用等差数列的通项公式及求和公式代入可求，，从而可求通项
由及已知可得，则可得，可证是等比数列，代入等比数列的求和公式可求
本题主要考查了利用基本量，结合等差数列的通项公式及求和公式求解等差数列的项目、和，等比数列的证明及求和公式等知识的综合应用．
 

19.【答案】解：每次射击都有两种可能的结果：命中目标或没有命中目标，并且每次射击命中目标的概率都是，每次射击没有命中目标的概率均为，
在次射击中，命中目标的次数的可能取值为，，，，，，
，
故的分布如下：

故E． 

【解析】先分析的可能取值为，，，，，再由二项分布知识可得概率和分布列．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于基础题．
 

20.【答案】解：因为为的焦点且轴，
可得，，
设的标准方程为，
因为为的焦点且轴，所以，，
因为，，的焦点重合，所以，
消去，可得，所以，
所以，
设的离心率为，由，则，
解得舍去，故C的离心率为；
由可得，，，
所以：，：，
联立两曲线方程，消去，可得，
所以，解得或舍去，
从而，
解得，
所以和的标准方程分别为，． 

【解析】本题考查抛物线和椭圆的定义、方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
由为的焦点且轴，为的焦点且轴，分别求得的坐标和，，由已知条件可得，，，的方程，消去，结合，，和的关系，解方程可得的值；
由用表示椭圆方程和抛物线方程，联立两曲线方程，解得的横坐标，再由抛物线的定义，解方程可得，进而得到所求曲线方程．
 

21.【答案】解：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为件，
因为甲的一级品的频数为，所以甲的一级品的频率为；
因为乙的一级品的频数为，所以乙的一级品的频率为；
根据列联表，可得
．
所以有的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异． 

【解析】本题考查了统计与概率中的独立性检验，属于基础题．
根据表格中统计可知甲机床、乙机床生产总数和频数，再求出频率值即可；
根据列联表，求出，再将的值与比较，即可得出结论．