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人教版 (五四制)九年级上册28.3 二次函数与实际问题一等奖课件ppt
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28.3 二次函数与实际问题第三课时(1)利用已知点的坐标,求出抛物线的解析式: 当已知三个点的坐标时,可用一般式y=ax2+bx+c(a≠0)求其解析式; 当已知顶点坐标为(k,h)和另外一点的坐标时,可用顶点式 求其解析式; 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(x1,0),(x2,0)时,可用交点式 求其解析式.(2)对于任意一个二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0),可以利用配方把它化为顶点式,进而写出顶点坐标和对称轴.(3)求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点,即令y=0即可;其与x轴交点即为(x1,0)、(x2,0); 求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴的交点,即令x=0即可;其与y轴交点即为(0,c).(4)将二次函数的一般式转化成顶点式来求二次函数最值.现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥吧?探究一:利用二次函数解决抛物线形拱桥问题活动1情景导入,明确目标重点知识★生活中有很多各种各样美丽、实用的桥梁,它们无不给我们以抛物线的形象感受,我们在本节课就来主要研究与桥有关的抛物线问题.阅读教材P25探究3,完成下列填空:1. 以拱桥的顶点为原点,以经过该点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系时,可设这条抛物线的关系式为___________.2. 一座拱桥为抛物线形,其函数解析式为__________,当水位线在AB位置时,水面宽4 m,这时水面离桥顶的高度为_____m;当桥拱顶点到水面距离为2 m时,水面宽为_____m,A点坐标为______________,B点坐标为_____________,则函数解析式为_______________.探究一:利用二次函数解决抛物线形拱桥问题活动2自学互研,生成能力重点知识★42(-2,-2)(2,-2)如何根据图建立平面直角坐标系?不同的建立方式,求得抛物线解析式是否一样?用二次函数知识解决抛物线形建筑问题的一般步骤是怎样的?首先是审题,弄清已知和未知,再建立适当的平面直角坐标系后,合理的设出二次函数的解析式并求解出解析式,最后利用解析式求解得出实际问题的答案.探究一:利用二次函数解决抛物线形拱桥问题重点知识★例、小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线 的一部分,如图所示,若命中篮圈中心,则他与篮底的距离L是多少?探究二:建立二次函数模型,解决其它实际问题解:当y=3.05时, +3.5=3.05解得: 所以 L=3+1.5=4.5则他与篮底的距离L是4.5m.例1.如图是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,则水面下降1m时,水面宽度增加( )A.1m B.2m C.( -4)m D.( -2)m探究三:利用二次函数解决实际问题的训练活动1基础性例题解:建立平面直角坐标系,设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过C点,则通过画图可得知O为原点.C抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,OA和OB可求出为AB的一半2米,抛物线顶点C坐标为(0,2),通过以上条件可设顶点式y=ax2+2,其中a可通过代入A点坐标(-2,0),代入到抛物线解析式得出:a=-0.5,所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2,当水面下降1米,通过抛物线在图上的观察可转化为:当y=-1时,对应的抛物线上两点之间的距离,也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离,可以通过把y=-1代入抛物线解析式得出:-1=-0.5x2+2,解得:x=探究三:利用二次函数解决实际问题的训练练习. 有一抛物线形拱桥,其最大高度为16米,跨度为40米,把它的示意图放在如图所示的坐标系中,则抛物线的函数关系式为_________________ .解:因为抛物线过点(0,0)和(40,0),∴ y=ax(x- 40)①又∵ 函数过点(20,16)代入①得20a(20-40)=16,解得∴ 抛物线的解析式为 .探究三:利用二次函数解决实际问题的训练例2. 如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20米,如果水位上升3米,则水面CD的宽是10米.(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;(2)当水位在正常水位时,有一艘宽为6米的货船经过这里,船舱上有高出水面3.6米的长方体货物(货物与货船同宽).问:此船能否顺利通过这座拱桥?【思路点拨】(1)以拱桥最顶端为原点,建立直角坐标系,根据题目中所给的数据写出函数解析式.(2)先求x=3米时y的值,用拱桥最大高度减去|y|,然后与3.6相比较即可得出答案.探究三:利用二次函数解决实际问题的训练解:(1)设抛物线解析式为y=ax2, 因为抛物线关于y轴对称,AB=20,所以点B的横坐标为10, 设点B(10,n),点D(5,n+3), n=10²•a=100a,n+3=5²a=25a,(2)∵ 货轮经过拱桥时的横坐标为x=3, ∴ 当x=3时,∴ 在正常水位时,此船能顺利通过这座拱桥.探究三:利用二次函数解决实际问题的训练练习. 如图,有一座抛物线形拱桥,桥下面在正常水位AB时宽20 m,水位上升3 m就达到警戒线CD,这时水面宽度为10 m. (1)建立如图的坐标系,求抛物线的函数解析式; (2)若洪水到来时水位以0.2 m/h的速度上升,从正常水位开始,再过几小时就能到达桥面?解:(1)由题意知点D的横坐标为5,点B的横坐标为10,EF=3,设OE=h,则OF=h-3,则点B(10,-h),D(5,3-h).设抛物线的函数解析式为y=ax2,探究三:利用二次函数解决实际问题的训练(2) ∵B(10,-4), ∴ 拱桥顶O到CD的距离为4, ∴ 小时. 所以再过20 h就能到达桥面.探究三:利用二次函数解决实际问题的训练例3.在一次羽毛球赛中,甲运动员在离地面 米的P点处发球,球的运动轨迹PAN看作一个抛物线的一部分,当球运动到最高点A时,其高度为3米,离甲运动员站立地点O的水平距离为5米,球网BC离点O的水平距离为6米,以点O为原点建立如图所示的坐标系,乙运动员站立地点M的坐标为(m,0)(1)求抛物线的解析式(不要求写自变量的取值范围);(2)求羽毛球落地点N离球网的水平距离(即NC的长);(3)乙原地起跳后可接球的最大高度为2.4米,若乙因为接球高度不够而失球,求m的取值范围.探究三:利用二次函数解决实际问题的训练活动2提升型例题【思路点拨】(1)设抛物线解析式为y=a(x﹣5)2+3,将点(0, )代入可得出a的值,继而得出抛物线解析式.(2)令y=0,可得出ON的长度,由NC=ON﹣OC即可得出答案.(3)先计算出刚好接到球时m的值,从而结合所给图形可得出运动员接球高度不够m的取值范围.探究三:利用二次函数解决实际问题的训练解:(1)设抛物线解析式为y=a(x-5)2+3,将点(0, )代入 可得:(2)当y=0时,解得:解得:∵ OC=6∴ CN=探究三:利用二次函数解决实际问题的训练(3)若运动员乙原地起跳到最大高度时刚好接到球, 此时解得:m1=2,m2=8,∵ 运动员接球高度不够,∴ 2<m<8,∵ OC=6,乙运动员接球时不能触网(接不到),∴ m的取值范围为:6<m<8.探究三:利用二次函数解决实际问题的训练练习. 火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式 表示.经过_______s,火箭达到它的最高点.【思路点拨】可以把题目所给的一般式化为顶点式直接求解;【解题过程】解:配方可得 ,因此当t=15秒时火箭达到最高点.15探究三:利用二次函数解决实际问题的训练例4.某桥的部分横截面如图所示,上方可看作是一个经过A、C、B三点的抛物线,以桥面的水平线为x轴,经过抛物线的顶点C与x轴垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2m(图中用线段AD、CO、BE等表示桥柱),CO=1m,FG=2m.(1)求经过A、B、C三点的抛物线相应的二次函数关系式;(2)求柱子AD的高度.探究三:利用二次函数解决实际问题的训练(2)因为点A的横坐标为-8,当x=-8时,y=5.所以柱子AD的高度为5米.(1)求经过A、B、C三点的抛物线相应的二次函数关系式;(2)求柱子AD的高度.探究三:利用二次函数解决实际问题的训练练习. 某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8米,两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6米,求校门的高.(精确到0.1米,水泥建筑物厚度忽略不计)【思路点拨】先建立坐标系,然后根据线段的长度写出点的坐标,再设出函数的解析式,利用点的坐标求出解析式.探究三:利用二次函数解决实际问题的训练解:以大门的地面为x轴,大门的正中间为y轴建立直角坐标系,由题意可知抛物线过(-4,0),(4,0),(-3,4)三点.∵ 抛物线关于y轴对称,可设解析式为y=ax2+c,∴ 顶点坐标为(0, ),则校门的高为 ≈9.1(米)探究三:利用二次函数解决实际问题的训练例5.如图1,三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小都相同.正常水位时,大孔水面宽度AB=20米,顶点M距水面6米(即MO=6米),小孔顶点N距水面4.5米(NC=4.5米).当水位上涨刚好淹没小孔时,借助图2中的直角坐标系,求此时大孔的水面宽度EF.探究三:利用二次函数解决实际问题的训练活动3探究型例题图1图2【思路点拨】根据线段的长度写出相关点的坐标,再设出函数的解析式,把点的坐标代入解析式求出解析式,可以算出EF的宽度.依题意,得B(10,0).∴ a×10²+6=0.解得a=-0.06.即∴DF=5,EF=10.即水面宽度为10米. 例5.如图1,三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小都相同.正常水位时,大孔水面宽度AB=20米,顶点M距水面6米(即MO=6米),小孔顶点N距水面4.5米(NC=4.5米).当水位上涨刚好淹没小孔时,借助图2中的直角坐标系,求此时大孔的水面宽度EF.探究三:利用二次函数解决实际问题的训练练习. 某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成,尺寸如图所示.(1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴,建立直角坐标系,求该抛物线对应的函数关系式;(2)某卡车空车时能通过此隧道,现装载一集装箱箱宽3m,车与箱共高4.5m,此车能否通过隧道?并说明理由.探究三:利用二次函数解决实际问题的训练解:(1)设抛物线对应的函数关系式为因为抛物线的顶点为原点,隧道宽6m,高5m,矩形的高为2m,所以抛物线过点A(-3,-3),代入得-3=9a,解得 练习. 某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成,尺寸如图所示.(1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴,建立直角坐标系,求该抛物线对应的函数关系式;探究三:利用二次函数解决实际问题的训练解:(2)如果此车能通过隧道,集装箱处于对称位置,将x=1.5代入抛物线方程,得y=-0.75,此时集装箱角离隧道的底为5-0.75=4.25米,不及车与箱总高4.5米,即4.25<4.5,从而此车不能通过此隧道.练习. 某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成,尺寸如图所示.(2)某卡车空车时能通过此隧道,现装载一集装箱箱宽3m,车与箱共高4.5m,此车能否通过隧道?并说明理由.探究三:利用二次函数解决实际问题的训练例6.为备战奥运会,中国女排的姑娘们刻苦训练,为国争光,如图,已知排球场的长度OD为18米,位于球场中线处球网的高度AB为2.43米,一队员站在点O处发球,排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出,当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时,到达最高点G,建立如图所示的平面直角坐标系.(1)当球上升的最大高度为3.2米时,求排球飞行的高度y(单位:米)与水平距离x(单位:米)的函数关系式.(不要求写自变量x的取值范围)(2)在(1)的条件下,对方距球网0.5米的点F处有一队员,她起跳后的最大高度为3.1米,问这次她是否可以拦网成功?请通过计算说明.(3)若队员发球既要过球网,又不出边界,问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少?(排球压线属于没出界)探究三:利用二次函数解决实际问题的训练例6.为备战奥运会,中国女排的姑娘们刻苦训练,为国争光,如图,已知排球场的长度OD为18米,位于球场中线处球网的高度AB为2.43米,一队员站在点O处发球,排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出,当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时,到达最高点G,建立如图所示的平面直角坐标系.(1)当球上升的最大高度为3.2米时,求排球飞行的高度y(单位:米)与水平距离x(单位:米)的函数关系式.(不要求写自变量x的取值范围)解: (1)根据题意知此时抛物线的顶点G的坐标为(7,3.2),设抛物线解析式为y=a(x-7)2+3.2将点C(0,1.8)代入得49a+3.2=1.8,探究三:利用二次函数解决实际问题的训练例6.为备战奥运会,中国女排的姑娘们刻苦训练,为国争光,如图,已知排球场的长度OD为18米,位于球场中线处球网的高度AB为2.43米,一队员站在点O处发球,排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出,当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时,到达最高点G,建立如图所示的平面直角坐标系.(2)在(1)的条件下,对方距球网0.5米的点F处有一队员,她起跳后的最大高度为3.1米,问这次她是否可以拦网成功?请通过计算说明.解:(2)由题意当x=9.5时,故这次她可以拦网成功.探究三:利用二次函数解决实际问题的训练例6.为备战奥运会,中国女排的姑娘们刻苦训练,为国争光,如图,已知排球场的长度OD为18米,位于球场中线处球网的高度AB为2.43米,一队员站在点O处发球,排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出,当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时,到达最高点G,建立如图所示的平面直角坐标系.(3)若队员发球既要过球网,又不出边界,问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少?(排球压线属于没出界)解:(3)设抛物线解析式为y=a(x-7)2+h,将点C(0,1.8)代入得49a+h=1.8,则排球飞行的最大高度h的取值范围是h≥3.025.探究三:利用二次函数解决实际问题的训练练习. 如图,杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处,其身体(看成一点)的路线是抛物线 的一部分.(1)求演员弹跳离地面的最大高度;(2)已知人梯高BC=3.4米,在一次表演中,人梯到起跳点A的水平距离是4米,问这次表演是否成功?请说明理由∴ 演员弹跳离地面的最大高度是4.75米.探究三:利用二次函数解决实际问题的训练练习. 如图,杂技团进行杂技表演,演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处,其身体(看成一点)的路线是抛物线 的一部分.(1)求演员弹跳离地面的最大高度;(2)已知人梯高BC=3.4米,在一次表演中,人梯到起跳点A的水平距离是4米,问这次表演是否成功?请说明理由解:(2)表演成功.理由:把x=4代入解析式得y=3.4,即点B(4,3.4)在抛物线 上,所以表演成功.探究三:利用二次函数解决实际问题的训练知识梳理1. 解拱桥问题、投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹的二次函数应用问题时,一般分为以下五个步骤:(1)建立适当的直角坐标系(若题目中给出,不用重建);(2)确定解析式的类型,若顶点在原点上,一般设二次函数的解析式为y=ax2 ;若顶点不在原点上,一般设二次函数的解析式为y=ax2+k;(3)根据给定的条件,找出抛物线上已知的点,并写出坐标;(4)利用已知点的坐标,求出抛物线的解析式: 当已知三个点的坐标时,可用一般式y=ax2+bx+c(a≠0)求其解析式;知识梳理 当已知顶点坐标为(k,h)和另外一点的坐标时,可用顶点式 求其解析式; 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(x1,0),(x2,0)时,可用交点式 求其解析式.(5)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标,从而使问题获解.2. 建立坐标系之后,根据线段的长度写出点的坐标,把点的坐标代入到相关的解析式中求出解析式,利用解析式求解相关问题.重难点归纳1.根据实际问题,建立适当的直角坐标系.2.根据给定的条件,确定二次函数的解析式,求出与问题相关的点的坐标.3.数形结合思想特别重要,在思考的过程中需要结合题意画出满足条件的图形,尤其是动态问题中画出图形是解题的关键.点击“随堂训练→名师训练”选择“《二次函数与实际问题(3) 》随堂检测 ”
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