初中数学人教版 (五四制)九年级上册31.2 点和圆、直线和圆的位置关系优秀课件ppt

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31.2.1 点和圆的位置关系
（1）把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做 。（2）在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角 ，都等于这条弧所对的圆心角的 。（3）半圆（或直径）所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 。
圆周角
相等
一半
直径
直角
引出点与圆的位置关系
活动1
这一现象体现了平面内点与圆的位置关系．
探究一：引出点与圆的三种位置关系
爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一次掷飞镖比赛。他们把靶子钉在一面土墙上，规则是谁掷出落点离红心最近，谁就胜。如下图中A、B、C三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成绩好？
重点、难点知识 ★▲
点与圆的位置关系
活动2
探究一：引出点与圆的三种位置关系
如图1所示，设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d：A点在圆内，则d＜r；B点在圆上，则d=r；C点在圆外，则d＞r.
重点、难点知识 ★▲
反之，在同一平面上，已知圆的半径为r，则:若d＞r，则A点在圆外；若d＜r，则B点在圆内；若d=r，则C点在圆上。
点与圆的位置关系
活动2
探究一：引出点与圆的三种位置关系
重点、难点知识 ★▲
结论：设⊙O的半径为r，点P到圆的距离为d，则有：点P在圆外→d>r； 点P在圆上→d=r；点P在圆内→d几点确定一个圆
活动1
探究一：不在同一条直线上的三个点确定一个圆
难点知识 ▲
在圆上的点有多少个，多少个点就可以确定一个圆呢？
试一试：画图（1）圆的_______确定圆的大小，圆的_______确定圆的位置；也就是说，若如果圆的_______和_______确定了，那么，这个圆就确定了。（2）如图2，点O是线段AB的垂直平分线上的任意一点，则有OA_______OB
半径
圆心
＝
半径
圆心
平面内，点确定圆
活动1
探究一：不在同一条直线上的三个点确定一个圆
难点知识 ▲
在圆上的点有多少个，多少个点就可以确定一个圆呢？
① 画过一个点的圆。如图3，已知一个点A，画过A点的圆．
A
小结：经过一定点的圆可以画_________个。
无数个
图3
平面内，点确定圆
活动1
探究一：不在同一条直线上的三个点确定一个圆
难点知识 ▲
② 画过两个点的圆。如图，已知两个点A、B，画过同时经过A、B两点的圆．
A
B
图4
提示：画圆的关键是找到圆心, 画出来的圆要同时经过A、B两点, 那么圆心到这两点距离_______, 可见，圆心在线段AB的_________上。
中垂线
相等
平面内，点确定圆
活动1
探究一：不在同一条直线上的三个点确定一个圆
难点知识 ▲
小结：经过两定点的圆可以画________个，这些圆的圆心在两点连线的________________上。
无数个
垂直平分线
平面内，点确定圆
活动1
探究一：不在同一条直线上的三个点确定一个圆
难点知识 ▲
③ 画过三个点（不在同一直线）的圆，如图5。
图5
如果A、B、C三点不在一条直线上，那么经过A、B两点所画的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，而经过B、C两点所画的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上，此时，这两条垂直平分线一定相交，设交点为O，则OA＝OB＝OC，于是以O为圆心，OA为半径画圆，便可画出经过A、B、C三点的圆．
平面内，点确定圆
活动1
探究一：不在同一条直线上的三个点确定一个圆
难点知识 ▲
③ 画过三个点（不在同一直线）的圆，如图5。
小结：不在同一条直线上的三个点确定_______圆．
一个
平面内，点确定圆
活动1
探究一：不在同一条直线上的三个点确定一个圆
难点知识 ▲
④有关概念：与三角形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆。其圆心叫做三角形的外心。三个顶点都在圆上的三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三条边的中垂线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
平面内，点确定圆
活动1
探究一：不在同一条直线上的三个点确定一个圆
难点知识 ▲
⑤你能过锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三个顶点作圆吗？它们的圆心分别在哪里？
锐角三角形在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角线在外部。
基础性例题
活动1
探究一：点与圆的位置关系的应用
例1．如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, BC=3cm, AC=4cm，D是AB的中点，若以点C为圆心，以3cm长为半径作⊙C，则下列选项中的点在⊙C外的是（　　）A．点A B．点B C．点C D．点D
A
探究一：点与圆的位置关系的应用
练习1. 有一张矩形的纸片，AB=3cm，AD=4cm，若以A为圆心作圆，并且要使点D在⊙A内，而点C在⊙A外，⊙A的半径r的取值范围是　 　．
解：∵矩形的纸片，AB=3cm，AD=4cm，∴AC=5cm，∴以A为圆心作圆，并且要使点D在⊙A内，而点C在⊙A外，⊙A的半径r的取值范围为4cm＜r＜5cm．
【思路点拨】先利用勾股数得到AC=5cm，然后根据点与圆的位置关系，要使点D在⊙A内，则r＞4；要使点C在⊙A外，则r＜5，然后写出它们的公共部分即可．
4cm＜r＜5cm
探究一：点与圆的位置关系的应用
例2．如图，A、B、C、D四点在同一个圆上．下列判断正确的是（　　）A．∠C+∠D=180°B．当E为圆心时，∠C=∠D=90°C．若E是AB的中点，则E一定是此圆的圆心.D．∠COD=2∠CAD
解：因为A、B、C、D四点在同一个圆上，A、∠C=∠D，错误；B、当E为圆心时，∠C=∠D=90°，正确；C、若E是AB的中点，则E不一定是此圆的圆心，错误；D、∠COD≠2∠CAD，错误；
【思路点拨】根据A、B、C、D四点共圆的性质和圆心角与圆周角的关系判断即可．
B
探究一：点与圆的位置关系的应用
练习2. 如图，⊙A的半径为3，圆心A的坐标为（1，0），点B（m，0）在⊙A内，则m的取值范围是（　　） A. m＜4 B. m＞﹣2 C. ﹣2＜m＜4 D. m＜﹣2或m＞4
解：以A(1, 0)为圆心, 以3为半径的圆交x轴两点的坐标为(﹣2,0)，(4,0)，∵点B(m, 0)在以A(1,0）为圆心，以3为半径的圆内，∴﹣2＜m＜4．
【思路点拨】熟记“设点到圆心的距离为d，则当d=R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内”即可解答．
C
提升型例题
活动1
探究一：点与圆的位置关系的应用
例3．如图，以线段AB为边分别作直角三角形ABC和等边三角形ABD，其中∠ACB=90°．连接CD，当CD的长度最大时，此时∠CAB的大小是（　　）A．75° B．45° C．30° D．15°
解：如图所示：∵AB长一定，∴D点位置确定.∴只要C点距离AB距离最大，就有CD的长度最大，∴只有C在半圆的中点, 即在C′点时，CD的长度最大，此时AC′=BC′，∴∠C′AB的大小是45°．
B
提升型例题
活动2
探究一：点与圆的位置关系的应用
例3．如图，以线段AB为边分别作直角三角形ABC和等边三角形ABD，其中∠ACB=90°．连接CD，当CD的长度最大时，此时∠CAB的大小是（　　）A．75° B．45° C．30° D．15°
【思路点拨】利用圆周角定理结合点到直线的距离得出C′在半圆的中点时，CD的长度最大，进而得出答案．
探究一：点与圆的位置关系的应用
练习3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2cm，BC=4cm，若以C为圆心，以2cm为半径作圆，则点A在⊙C　 　；点B在⊙C　 　；若以AB为直径作⊙O，则点C在⊙O　 　．
外
上
上
探究一：点与圆的位置关系的应用
【思路点拨】由于⊙C的半径为2cm，而AC=2cm，BC=4cm，则根据点与圆的位置关系的判定方法得到点A在⊙C上；点B在⊙C外；
练习3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2cm，BC=4cm，若以C为圆心，以2cm为半径作圆，则点A在⊙C　 　；点B在⊙C　 　；若以AB为直径作⊙O，则点C在⊙O　 　．
外
上
上
探究一：点与圆的位置关系的应用
例4．如图，动点M、N分别在直线AB与CD上，且AB∥CD，∠BMN与∠MND的角平分线相交于点P，若以MN为直径作⊙O，则点P与⊙O的位置关系是（　　）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O上 D．以上都有可能
探究一：点与圆的位置关系的应用
探究一：点与圆的位置关系的应用
练习4：如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（　　）A．28° B．54° C．18° D．36°
D
解：根据圆周角定理可知，∠AOB=2∠ACB=72°，即∠ACB=36°，
【思路点拨】根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求解．
探究型例题
活动3
探究一：点与圆的位置关系的应用
例5．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（　　）A．0 B．1 C．2 D．3
探究一：点与圆的位置关系的应用
探究一：点与圆的位置关系的应用
练习5：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是边AC上任意一点，以点O为圆心，以OC为半径作圆，则点B与⊙O的位置关系（　　） A．点B在⊙O外 B．点B在⊙O上 C．点B在⊙O内 D．与点O在边AC上的位置有关
【思路点拨】连接OB，利用直角三角形斜边永远大于直角边得到OB＞OC，从而可以判定点与圆的位置关系．
解：连接OB.∵∠ACB=90°，∴直角三角形中斜边OB＞直角边OC，∴点B在⊙O外.
A
探究一：点与圆的位置关系的应用
例6．如图, 小明为检验M、N、P、Q四点是否共圆, 用尺规分别作了MN、MQ的垂直平分线交于点O, 则M、N、P、Q四点中, 不一定在以O为圆心, OM为半径的圆上的点是（　　）A．点M B．点N C．点P D．点Q
【思路点拨】连接OM，ON，OQ，OP，由线段垂直平分线的性质可得出OM=ON=OQ，据此可得出结论．
解：连接OM，ON，OQ，OP，∵MN、MQ的垂直平分线交于点O，∴OM=ON=OQ，∴M、N、Q在以点O为圆心的圆上，OP与ON的大小关系不能确定，∴点P不一定在圆上．
C
探究一：点与圆的位置关系的应用
练习6. 如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的高，AC=4，BC=3，如果圆C是以C为圆心，2.5长为半径的圆，那么下列说法正确的是（　　） A．点D在圆C上 B．点D在圆C内，点A、B均在圆C外 C．点A、B、D均在圆C外 D．点B、D均在圆C内，点A在圆C外
【思路点拨】先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的面积公式求出CD的长，根据点与圆的位置关系即可得出结论．
探究一：点与圆的位置关系的应用
A、∵2.4＜2.5，∴点D在圆内，故本选项错误；B、∵2.4＜2.5＜3＜4，∴点D在圆C内，点A、B均在圆C外，故本选项正确；C、∵2.4＜2.5，∴点D在圆内，故本选项错误；D、∵2.4＜2.5＜3＜4，∴点D在圆C内，点A、B均在圆C外，故本选项错误．故选B．
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d=r ③点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）不在同一条直线上的三点确定一个圆.
1.点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有： ①点P在圆外⇔d>r ②点P在圆上⇔d=r ③点P在圆内⇔d点击“随堂训练→名师训练”选择“《点和圆的位置关系》随堂检测 ”