2023邵阳二中高三上学期第二次月考数学试卷含答案

邵阳市二中高三第二次月考数学试卷（2022年8月）

考试内容：

选填题：集合､逻辑､函数

解答题：高考题型

考试时量：120分钟分值：150分

一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.

1.集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.命题的否定形式为（    ）

A.    B.

C.    D.

3.函数的图象在的大致为（    ）

A.    B.

C.    D.

4.“函数y=x2-2ax+a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的（    ）

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分又不必要条件

5.已知函数的定义域均为，且.若的图像关于直线对称，，则（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知是上的函数，且对任意都有，若函数的图象关于点.对称，且，则（    ）

A.6    B.3    C.0    D.

7.当时，函数取得最大值，则（    ）

A.    B.    C.    D.

8.对于定义在上的函数，若存在正常数､，使得对一切均成立，则称是“控制增长函数”.在以下四个函数中：①；②；③；④.是“控制增长函数”的有（    ）个

A.1    B.2    C.3    D.4

二､多选题：每题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分

9.已知函数，则（    ）

A.有两个极值点   

B.有三个零点

C.点是曲线的对称中心

D.直线是曲线的切线

10.如果满足，且，那么下列选项成立的是（    ）

A.    B.

C.    D.

11.已知函数，下列关于该函数结论正确的是（    ）

A.的图象关于直线对称

B.的一个周期是

C.的最大值为2

D.是区间上的减函数

12.在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则（    ）

A.函数为周期函数，且最小正周期为

B.函数的图象关于点对称

C.函数的图象关于直线对称

D.函数导函数的最大值为4

三､填空题

13.写出一个同时具有下列性质①②③的函数：__________.

①；②当时，；③是奇函数.

14.已知函数的图像在点的处的切线过点，则__________.

15.设，若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为__________.

16.若是奇函数，则__________；__________.

四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.

问题：已知的三边，，所对的角分别为，，，若，，______，求的面积.

18.已知数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前2020项和.

19.如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，设点在线段上运动.

（1）证明：；

（2）设平面与平面所成锐二面角为，求的最小值.

20.甲､乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲､乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

（1）根据上表，分别估计这两家公司甲､乙两城之间的长途客车准点的概率；

（2）能否有90%的把握认为甲､乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？

附：，

21.如图，点A为椭圆的左顶点，过的直线交抛物线于，两点，点是的中点.

（1）若点A在抛物线的准线上，求抛物线的标准方程：

（2）若直线过点，且倾斜角和直线的倾斜角互补，交椭圆于，两点，

（i）证明：点的横坐标是定值，并求出该定值：

（ii）当的面积最大时，求的值.

22.已知函数.（其中常数，是自然对数的底数.）

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：对任意的，当时，.

答案：

13.（答案不唯一，均满足）

14.1  15.  16.①.；②..

8.【详解】对于①，可化为，

即对一切恒成立，

由函数的定义域为可知，不存在满足条件的正常数､，

所以，函数不是“控制增长函数”；

对于②，若函数为“控制增长函数”，

则可化为，

∴对一切恒成立，

又，若成立，则，显然，当时，不等式恒成立，所以，函数为“控制增长函数”；

对于③，∵，∴，

当且为任意正实数时，恒成立，

所以，函数是“控制增长函数”；

对于④，若函数是“控制增长函数”，则恒成立，

∵，若，即，

所以，函数是“控制增长函数”.

因此，是“控制增长函数”的序号是②③④.

故选：C

【点睛】

方法点睛：类似这种存在性问题的判断，常用的方法有：（1）特例说明存在性；（2）证明它不存在；（3）证明它存在.要根据已知条件灵活选择方法解答.

12.【详解】

，

，

所以，不是函数的最小正周期，A选项错误；

，

，

所以，故函数的图象关于点对称，B选项正确；

，

所以，函数的图象关于直线对称，C选项正确；

，

，，，，

则，又，

所以函数的最大值为，D选项正确.故选：BCD.

17.选①由得：，又所以.

选②由得：，

解得，又，所以.

选③由得：，

得，又，所以.

又因为，所以.

由，所以或.

当时，，又因为，所以，.所以面积.

当时，，所以.又因为，所以.所以面积.

18.【详解】

（1）由，

可得，

所以，

即，当，也满足，

所以；

（2）

.

19.【详解】

（1）证明：在梯形中，因为，，，

所以，所以，

所以，所以.

因为平面平面，平面平面，

因为平面，所以平面.所以；

（2）解：由（1）可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，

令，则，，，.∴，.

设为平面的一个法向量，

由得，取，则，

∵是平面的一个法向量，

∴

∵，∴当时，有最大值，的最小值为.

20.（1）A，B两家公司长途客车准点的概率分别为，（2）有

21.（1）；（2）（i）点的横坐标为定值，证明见详解；（ii）

解：（1）由题意得，点A在抛物线的准线上，

则，即

所以抛物线的标准方程为；

（2）（i）证明：因为过A的直线和抛物线交于两点，所以的斜率存在且不为0，

设的方程为，其中m是斜率的倒数，设，，

联立方程组，整理得，且，

因为C是AB的中点，所以，所以，，

，所以点的横坐标为定值；

（ii）因为直线的倾斜角和直线的倾斜角互补，所以的斜率和的斜率互为相反数.

设直线的方程为，，

即，联立方程组整理得，

，所以，，.

因为点C是AB中点，所以，因为到的距离，

，所以.令，

则，

当且仅当，时等号成立，所以，.

22.【详解】

（1）.

①当时，，函数在R上单调递增；

②当时，由解得，由解得.

故在上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，在R上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）证法一：原不等式等价于

令，则.

当时，，

令，则当时，，

∴当时，单调递增，即，

∴当时，；当时，；当时，，

∴即，故.

证法二：原不等式等价于.

令，则.

当时，；当时，.

∴，即，当且仅当时等号成立.

当时，显然成立；当且时，.

欲证对任意的，成立，只需证

思路1：∵，∴不等式可化为，

令，则，

易证当时，，∴当时，，当时，，

∴函数在上单调递减，在上单调递增，∴

∴，即，从而，对任意的，当时，.

思路2：令，则.

，或

∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

∵，∴，即.

从而，对任意的，当时，.

证法三：原不等式等价于.

令，则.

令，则，其中.

①当时，，在上单调递增.

注意到，故当时，；当时，

∴在上单调递减，在上单调递增.

∴，即.

②当时，.当时，，单调递减；当时，，单调递增.

②（i）：若，则.∵

∴当时，；当时，.

与①同，不等式成立.

②（ii）：若，则，∵

∴，使得，且当时，；当时，；当时，.

∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

∵∴此时，，即.