2023永州一中高三上学期入学考试数学试卷含答案

永州一中2022年高三年级暑假入学考试

数学试卷

考试时间：120分钟  满分：150分 

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2. 设函数则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 定义在上的偶函数在上单调递增，且，则使成立的的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

4．已知命题p：∃x∈(0,1)，ex－a≥0，若p是假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．a>1　 　B．a≥e　 　C．a≥1　 　D．a>e

5.若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是(  )

A.  B.  C.  D.

6.若，则取到最小值时，的值为( )

A.  B.  C.  D.

7.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗．到了年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足其中星等为的星的亮度为已知“心宿二”的星等是，“天津四”的星等是，“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是当较小时，

A.  B.  C.  D.

8.设，，函数若函数恰有个零点，则(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（       ）

A． B．y= |x-1| C．  D．

10．已知，则下列不等式中成立的是（       ）

A．  B． C． D．

11.已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则(    )

A. 是以为周期的周期函数
B.
C. 函数有个零点
D. 当时，

12.已知函数，则下列说法正确的有(    )

A. 直线为曲线的一条切线；
B. 的极值点个数为；
C. 的零点个数为；
D. 若，则．

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.曲线在点处的切线方程为______．

14.某驾驶员喝了升酒后，血液中的酒精含量毫克毫升随时间小时变化的规律近似满足表达式酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克毫升．此驾驶员至少要过______小时后才能开车．精确到小时

15.已知是定义在上的偶函数，且，当时，，若函数有且仅有个零点，则的取值范围是______．

16.已知函数有两个不同的极值点，，且不等式恒成立，则实数的取值范围是________．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17．已知数列满足.

(1)求证：是等差数列；

(2)若，求的通项公式.

18．如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.

(1)求AC；

(2)求.

19．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．

(1)证明：EF∥平面PCD

(2)若PD⊥平面ABCD，，且，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．

20.我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从年到年的“十四五”规划某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金该企业为了了解研发资金的投入额单位：百万元对年收入的附加额单位：百万元的影响，对往年研发资金投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下：

求年收入的附加额与投入额的线性回归方程

在的条件下，若投入额为百万元，估计年收入的附加额为多少

若年收入的附加额与投入额的比值大于，则称对应的投入额为“优秀投资额”，现从上面个投入额中任意取个，用表示这个投入额为“优秀投资额”的个数，求的分布列及数学期望．

【参考数据】，，．

【附】在线性回归方程中，，．

21.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为，过轴正半轴一点且斜率为的直线交椭圆于，两点
求椭圆的标准方程
是否存在实数使得以为直径的圆过原点，若存在求出实数的值若不存在需说明理由

22.已知函数（e是自然对数的底数）.

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，若对于，曲线C：与曲线都有唯一的公共点，求实数m的取值范围.

永州一中2022年高三年级暑假入学考试

数学参考答案

13.    14. 4    15.   16.     

部分题答案：

8解：当时，，最多一个零点；
当时， ，
，
当，即时，，在上递增，最多一个零点，不合题意；
当，即时，
令得，函数递增，
令得，函数递减，函数最多有个零点；
根据题意函数恰有个零点，
所以函数在上有一个零点，在上有个零点，
如右图：
且
解得，，，
，，
故选：．

12解：函数为偶函数，当时，，
令，可得，
易知当，，恒成立，
即在上单增；
当，令，
则，
因为，且单减，，
所以，使得，
当单调递减，
当单调递增，
又，
所以对，恒有，即，，
故函数在单调递减，
因为函数为偶函数，
所以函数在单调递减，
在上单调递增，在处取得极值．
选项A：直线为曲线的一条切线，
因为，，
所以函数在处切线方程为，故A对；
选项B：由上面分析可知在处取得极值，共三个极值点，故B对；
选项C：因为，当时，在单调递减，在单调递增，
所以时，仅有一个零点，
又因为为偶函数，
所以在上有两个零点，故C错；
选项D：因为在单调递减，在单调递增，
所以，，使得，
此时，故D错；
故答案选AB．  

16.解：，
，
若函数有两个不同的极值点，，
则方程有个不相等的实数根，
故

解得：
而

，
若不等式恒成立，
即，即，
令，
，故在递增，
故，所以，

因此实数的取值范围是．

17解(1)由题，即，

是公差为4的等差数列.

(2)

，累加可得

，当时也满足上式

.

18.解;（1）因为的面积为，所以.又因为，，所以.由余弦定理得，，，所以.

（2）因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以.

19.(1)证明：取PD的中点G，连接CG，EG，

因为E，F分别为PA，BC的中点，所以，

又底面ABCD为菱形，所以，所以，

所以四边形EGCF为平行四边形，所以

又平面PCD．平面PCD，所以EF//平面PCD．

(2)解：连接，

因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，

因为四边形ABCD为菱形，，所以为等边三角形，

因为F为BC的中点，所以，

因为∥，所以，所以两两垂直，

所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz．

因为，所以D（0，0，0），F(，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），

则．

设平面DEF的法向量，则

，令，得．

设直线AF与平面DEF所成的角为θ，

则，

所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为

20.【答案】解：
，，
，
又因为，所以，
所以年收入的附加额与投入额的线性回归方程为．
由知，，
所以随着研发资金投入额的增加，年收入的附加额也增加．
研发资金投入额每增加百万元，年收入的附加额增加百万元．
所以，所以当时，，
所以当投入额为百万元时，估计年收入的附加额为百万元．
个投入额中，“优秀投资额”的个数为个，
故的所有可能取值为，，，，


则的分布列为

则． 

21.【答案】解：根据题意，抛物线的焦点是，

则，即，又椭圆的离心率为，即，解可得，则，
则，故椭圆的方程为；
由题意得直线的方程为，
由消去得．
由，解得．
又，．
设，，则，．
则．
又由以为直径的圆过原点，则，
即，得，
又．，即存在使得以为直径的圆过原点．

22．解：(1)

因为，(x)= -1= (x>0)

当a时，，函数在单调递减；

当a>0时，令，解得x=a，

当时，，当时，，

∴函数在上单调递增，在上单调递减，

综上，当a时，函数在单调递减；

当a>0时，函数在上单调递增，在上单调递减．

(2)

因为曲线与曲线有唯一的公共点，

所以方程有唯一解，即方程有唯一解，

令，所以，

当时，g’(x)，函数单调递增，

易知与有且只有一个交点，满足题意；

当时，有两个根，且两根之和为，两根之积为，

若两根一个大于4，一个小于4，此时函数先增后减再增，存在一个极大值和一个极小值，要使有唯一实数根，

则大于极大值或小于极小值.

记为极大值点，则，则恒成立，

又，即，

则极大值，

因为，所以在上单调递增，，则；

记为极小值点，则，则，又，

所以恒成立，令，又，

所以时，，所以单调递减，无最小值，

所以不存在，使得恒成立.

若两根都大于4，设为极大值点，，则同理可得单调递减，所以，则；

设为极小值点，，可得不存在，使得恒成立.

综上，要使对，曲线与曲线都有唯一的公共点，的取值范围为.