2021-2022学年陕西省榆林市子洲县八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年陕西省榆林市子洲县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题共8小题，共24分）

1. 下面四个图形体现了中华民族的传统文化，其中是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 使分式有意义的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 某地兴建的幸福小区的三个出口、、的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在(    )

A. 三条高线的交点处 B. 三条中线的交点处
C. 三个角的平分线的交点处 D. 三条边的垂直平分线的交点处

4. 若关于的分式方程有增根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 利用因式分解计算：的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，的内部作射线，过点分别作于点，于点，，连接，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 近日，教育部正式印发义务教育课程方案，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并在今年月份开学开始正式施行．某学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完，学校要求完成全部任务的时间不超过小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地，则满足的不等关系为(    )

A.  B.
C.  D.

8. 如图，四边形中，，，点为延长线上一点，连接，交于点，的平分线交于点若，点为的中点，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共5小题，共15分）

9. 分解因式：______．
10. 若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为______
11. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为______度．

12. 在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是______．

13. 如图，是等边三角形，直线于点，点在直线上一动点，以为边向右作等边三角形，连结，已知，则的最小值是______．

三、解答题（本题共13小题，共81分）

14. 因式分解：
15. 解方程：；
16. 解不等式组并把解集在如图所示的数轴上表示出来．
     
17. 如图，将▱沿着某条直线对折，折叠后点落在点处，请用尺规作图法找出折痕所在的直线．保留作图痕迹，不写作法

18. 如图，在中，点在上，平分，点在上，，，若，求的长．

19. 先化简：，再选择一个合适的值代入求值．
20. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，三个顶点的坐标分别为，，．
    以点为旋转中心，将顺时针旋转得到，点、的对应点分别为、，请在图中画出，并写出点、的坐标；
    将向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，点、、的对应点分别为、、请在图中画出．

21. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“友好数”如：；；，因此，，都是“友好数”．
    是“友好数”吗？为什么？
    若一个“友好数”能表示为两个连续奇数和为正整数的平方差，则这个“友好数”是的倍数吗？请用因式分解的方法进行说明．
22. 如图，在▱中，，分别以和为边作等边和等边．
    求证：．

23. 冰墩墩是年北京冬奥会的吉祥物，其敦厚、可爱的形象深入人心，制作的奥运纪念品深受大家喜爱．已知如图所示的两种冬奥会纪念品，型号的冰墩墩手办比型号的冰墩墩钥匙扣的单价多元，用元购买型号手办的数量是用元购买型号钥匙扣数量的倍．求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？

24. 如图，为的外角平分线上的一点，，．
    求证：是等腰三角形；
    若，求的长．

25. 某学校准备安装云南批柜式空调型和挂壁式空调型已知型空调的单价为元台，型空调的单价为元台．为响应国家号召，有两家商场分别推出了优惠套餐．
    甲商场：型空调和型空调均打八折出售；
    乙商场：型空调打九折出售，型空调打七折出售．
    若该学校需要购买型空调和型空调共台两种空调都要购买，且只在其中一家商场购买，则该学校选择在哪家商场购买更划算？
26. 如图，点，是▱对角线上的两点，且，连接、、、．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，，．
    求线段的长；
    求四边形的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
，
解得：．
故选：．
根据分式的分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：电动车充电桩到三个出口的距离都相等，
充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处，
故选：．
根据线段的垂直平分线的性质解答即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质的应用，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：去分母，得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，可得：．
故选：．
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可．
此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
故选A．
只需要把看作一个整体，提取公因式即可．
本题考查的是等底数幂减法，提取公因式即可．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
于点，于点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质可得的度数，再证明≌，根据全等三角形的性质可得的度数，进一步即可求出的度数．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故选：．
利用工作总量工作效率工作时间，结合完成平整土地的任务所用时间不超过小时，即可得出关于的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
；
四边形是平行四边形，
，，
，点是的中点，
，，，
，
，，
≌，
，，
，
平分，
，，
，
在中，，，
由勾股定理可得，
，
故选B．
根据平行线的性质得，推出，得出，由点是的中点可得≌，则，由等腰三角形三角形合一的性质可得出，进而求出的长，由勾股定理可得出的长，进而求出的长．
本题考查了平行四边形的性质、平行线的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质以及三角形内角和定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式利用完全平方公式分解即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：正多边形的内角和是，
多边形的边数为，
多边形的外角和都是，
正多边形的一个外角．
故答案为：．
根据多边形的内角和公式求出正多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的，依此可以求出正多边形的一个外角．
本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据旋转的性质，可得：，，
．
故答案为：．
根据旋转的性质可得出、，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解．
本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出的度数是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由得到：．
根据图象可知：两函数的交点为，
所以关于的一元一次不等式的解集是，即关于的一元一次不等式的解集是，
故答案为：．
写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，

和都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，
过点作于点，
点在直线上一动点，
点与点重合时，有最小值，
，
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
连接，由等边三角形的性质得出，，，证明≌，由全等三角形的性质得出，过点作于点，由直角三角形的性质求出的值，则可得出答案．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段的性质，证明≌是解题的关键．
 

14.【答案】解：

． 

【解析】先提取公因式，再用公式法进行因式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

15.【答案】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

16.【答案】解：，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
不等式组的解集如图所示：
． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】解：如图，直线即为所求．
 

【解析】连接，作的垂直平分线即可．
本题考查了作图复杂作图，平行四边形的性质，翻折变换，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
 

18.【答案】解：，平分，
，
，
是的中位线，
，
． 

【解析】根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理求出，进而求出．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

，
当时，原式答案不唯一． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件选择一个合适的的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：如图，即为所求，，；
如图，即为所求．
 

【解析】利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：，但是不是奇数，
不是“友好数”；


，
两个连续奇数和为正整数的平方差是的倍数． 

【解析】利用题中新定义求解；
利用分式分解求解．
本题考查了因式分解，正确分解是解题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
和为等边三角形，
，，，
，，，
在和中，，
≌，
． 

【解析】根据平行四边形的性质得出，，，根据等边三角形的性质得出，，，求出，，，根据推出≌即可．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
 

23.【答案】解：设型号手办的单价为元个，则型号钥匙扣的单价为元个，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：型号手办的单价为元个，型号钥匙扣的单价为元个． 

【解析】设型号手办的单价为元个，则型号钥匙扣的单价为元个，利用销售数量销售总价销售单价，结合用元购买型号手办的数量是用元购买型号钥匙扣数量的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出型号手办的单价，再将其代入中即可求出型号钥匙扣的单价．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，
，，
为的外角平分线上的一点，
，
，
，
是等腰三角形；
解：在和中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】根据平行线的性质可得，，再根据等角对等边可得结论；
利用“”证明≌，根据全等三角形的性质可得结论．
本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
 

25.【答案】解：设购买型空调台，则购买型空调台，在甲商场购买的费用为元，在乙商场购买的费用为元，
由题意可得，，
，
当时，，
解得；
当时，，
解得；
当时，，
解得；
答：当购买型空调小于台时，选择乙商场购买更划算；当购买型空调等于台时，选择甲、乙两商场购买一样划算；当购买型空调大于台且小于台时，选择甲商场购买更划算． 

【解析】根据题意和题目中的数据，可以写出费用与购买型空调数量的函数关系式，再写出相应的不等式，然后求解即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
 

26.【答案】证明：如图，连接，交于点，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
即，
又，
四边形是平行四边形；
解：，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
由可知，，，
，
由可知，四边形是平行四边形，
． 

【解析】连接，交于点，由平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论；
由勾股定理得，则，得，即可得出结论；
求出，再由三角形面积关系得，然后由平行四边形的性质即可得出结论．
本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理以及三角形面积等知识，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．