2021-2022学年陕西省汉中市城固县八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年陕西省汉中市城固县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列分式中，属于最简分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 用反证法证明命题：“已知，，求证：”第一步应先假设(    )

A.  B.  C.  D.

4. 多项式各项的公因式是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，且，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 若关于的方程无解，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如果关于的不等式组有且仅有三个整数解，则符合条件的所有整数的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，已知是边长为的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中≌；四边形是平行四边形；；其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

9. 当分式有意义时，的取值范围是______ ．
10. 分解因式：______．
11. 若一个多边形的每一个内角都是，则它的边数是______．
12. 年月日，天舟四号货运飞船成功发射．在此之际，某校组织了一次航天科普知识竞赛，一共有道题，规定答对一题得分，答错或不答一题扣分．小明同学的成绩超过分，则他至少答对______道题．
13. 如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则长为______．

三、解答题（本大题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14. 本小题分
    因式分解：．
15. 本小题分
    解分式方程：．
16. 本小题分
    如图，在中，垂直平分，请用尺规作图法在线段上求作一点，使点到线段的距离等于保留作图痕迹，不写作法

17. 本小题分
    已知是关于的一元一次不等式，试求的值，并解这个一元一次不等式．
18. 本小题分
    如图，在▱中，点、分别在，上，且，连接，．
    求证：．

19. 本小题分
    如图，是边长为的等边三角形，将沿平移到的位置，连接交于，求平移的距离和的长．

20. 本小题分
    解不等式组：并把解集表示在如图所示的数轴上．
     
21. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
22. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
    请画出关于原点对称的图形，并写出点的对应点的坐标；
    请画出绕原点逆时针方向旋转后得到的图形．

23. 本小题分
    中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化，每年月日为国际茶日．已知某茶店月份第一周绿茶、红茶的销售总额分别为元、元，红荼每克的售价是绿茶每克售价的倍，红茶的销售量比绿茶的销售量小克．问绿茶、红茶每克的售价分别是多少元？
24. 本小题分
    如图，在中，，点是上一点，连接，，平分交于点．
    求证：垂直平分；
    若，，点为的中点，连接，求的长．

25. 本小题分
    学校通过调查发现很多同学非常喜欢羽毛球这项体育活动，决定开展羽毛球选修课，购进副某一品牌羽毛球拍，每副球拍配个羽毛球，供应同学们积极参加体育活动学校附近有甲、乙两家体育文化用品商场，都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为元，每个羽毛球的标价为元，目前两家商场都有优惠活动：
    甲商场：所有商品均打九折按标价的销售；
    乙商场：买一副羽毛球拍送个羽毛球．
    设在甲商场购买羽毛球拍和羽毛球的费用为元，在乙商场购买羽毛球拍和羽毛球的费用为元．
    请解答下列问题：
    分别写出，与之间的关系式．
    若只能在一家超市购买，当取何值时，在甲商场购买更划算．
    若可以同时在两家商场分别购买部分商品，每副球拍配个羽毛球，则购买费用最少为多少元？
26. 本小题分
    如图，在▱中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个动点点、始终在▱的外面，连接、、、．
    若，，
    求证：四边形为平行四边形；
    若平分，，求的长．
    若，，四边形还是平行四边形吗？请写出结论并说明理由．
    若，，四边形还是平行四边形吗？请写出结论并证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形，
选项中的图形为中心对称图形，
故选：．
根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形判断即可．
本题主要考查中心对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：原式，不符合题意；
B.原式，不符合题意；
C.原式为最简分式，符合题意；
D.原式，不符合题意．
故选：．
利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，判断即可．
此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：用反证法证明命题：“已知，，求证：”第一步应先假设．
故选：．
直接利用反证法的第一步分析得出答案．
此题主要考查了反证法，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
 

4.【答案】 

【解析】解：多项式各项的公因式是，
故选D．
根据公因式是多项式中每项都有的因式，可得答案．
本题考查了公因式，公因式的系数是各项系数的最大公约数，字母是相同的字母，指数是相同字母的指数最低的指数．
 

5.【答案】 

【解析】解：是由绕点顺时针旋转后得到的图形，
，，，
，
，
，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可求，由三角形内角和定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：，
关于的方程无解，
，
，
把代入中可得：
，
解得：，
故选：．
根据题意可得，然后代入整式方程中进行计算即可解答．
本题考查了分式方程的解，根据题意求出的值代入整式方程中进行计算是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：不等式组整理得：，
解得：，
不等式组有且仅有三个整数解，
整数解为，，，
，
解得：，
则符合条件的所有整数，，，，共个．
故选：．
分别表示出不等式组中两不等式的解集，由不等式有且仅有三个整数解，确定出整数的值即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，作于．
，都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，，
，
，
是等边三角形，，
，，
四边形是平行四边形，故正确，
，，，
≌，故正确，
，
故正确，

故错误，
故选：．
连接，作于首先证明≌，再证明是等边三角形即可解决问题；
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

9.【答案】 

【解析】解：分式有意义，则，
解得：．
故答案为．
分式有意义的条件是分母不为．
本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为时，分式有意义．
 

10.【答案】 

【解析】解：
．
故答案为：．
利用平方差公式因式分解．
本题考查了整式的因式分解，掌握整式的平方差公式是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：一个多边形的每一个内角都是，
这个多边形的每一个外角都是，
多边形的外角和等于，
，
故答案为：．
先求出多边形的外角度数，再根据多边形的外角和等于求出多边形的边数即可．
本题考查了多边形的外角和内角，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设小明同学答对了道题，则答错或不答道题，
依题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为，
小明同学至少答对道题．
故答案为：．
设小明同学答对了道题，则答错或不答道题，利用得分答对题目数答错或不答题目数，结合得分超过分，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据角平分线平行可以证明等腰三角形，所以可得，，从而求出的长，最后求出的长．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线平行可以证明等腰三角形，是解题的关键．
 

14.【答案】解：原式
． 

【解析】直接提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
 

15.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

16.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】根据要求作出图形即可．
本题考查作图复杂作图，点到直线的距离相等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

17.【答案】解：是关于的一元一次不等式，
，，
解得：，
，
解得：． 

【解析】根据一元一次不等式的定义得到，则，然后把的值代入已知不等式，解不等式即可．
本题考查了一元一次不等式的定义和解一元一次不等式．含有一个未知数，未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】根据平行四边形的性质可得，，进而证得，从而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可证得结论．
本题主要考查了平行四边形的性质和判定，能够根据图形判定四边形的特殊形状进而求得与所证相关的结论是解答问题的关键．
 

19.【答案】解：由等边三角形平移而成，
平移的距离为：，
由等边三角形的性质和平移的性质得，，，
，
，
，
，
． 

【解析】由平移的性质可知平移的距离，由等边三角形的性质和平移的性质得，，，进而求出，，根据勾股定理求解即可．
本题考查的是等边三角形的性质及平移的性质，熟知图形平移后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，即为所求，点的坐标；
如图，即为所求．
 

【解析】利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：设绿茶每克售价为元，则红荼每克的售价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：绿茶每克售价为元，红茶每克售价为元． 

【解析】设绿茶每克售价为元，则红荼每克的售价为元，利用销售数量销售总额销售单价，结合红茶的销售量比绿茶的销售量小克，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出绿茶每克的售价，再将其代入中即可求出红茶每克的售价．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

24.【答案】证明：因为，
所以，
因为，
所以，
所以，即为等腰三角形，
因为平分，
所以，，
所以垂直平分；
解：在中，，，
所以，，
所以，
因为点为中点，点为中点，
所以为的中位线，
所以． 

【解析】首先根据题干信息证明出为等腰三角形，然后即可证明出垂直平分；
在中利用勾股定理求出，进而得到，再根据为中点，为中点，即可求出的长．
本题考查了三角形中位线定理以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
 

25.【答案】解：由题意得：．
．
当时，，得．
当时，在甲超市划算．
设在乙超市买副拍，送只羽毛球，则在甲超市买副拍，买个羽毛球，设总费用元，则：


，
，
随的增大而减小，
当时，最小，
元．
购买费用最少为元． 

【解析】根据甲乙两家商场销售方法分别计算即可．
根据的结论列不等式即可解决．
采用混合购买的方法解决问题．
本题考查一次函数的应用，一元一次不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会利用不等式或方程解决实际问题，学会采用混合购买的方法解决问题中省钱的方案，属于中考常考题型．
 

26.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，．
，，
，
，
四边形为平行四边形；
解：在▱中，，
．
平分，
，
，
．
，
，
是的垂直平分线，
．
，
是等边三角形，
；
解：若，，四边形是平行四边形，理由如下：
，，，
，
，
即，
，
四边形为平行四边形．
解：若，，四边形为平行四边形，理由如下：
，，．
，
，
即，
，
四边形为平行四边形． 

【解析】由平行四边形的性质可知、，再证，即可得出结论；
证，再证是等边三角形，即可得出结论；
证，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可得出结论；
证，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．