2021-2022学年江苏省南京市秦淮区中华中学高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

这是一份2021-2022学年江苏省南京市秦淮区中华中学高一（下）期末数学试卷（Word解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前2021-2022学年江苏省南京市秦淮区中华中学高一（下）期末数学试卷  一、单选题（本题共7小题，共35分）已知复数，则复数在复平面内对应的点位于第象限(    )A. 一 B. 二 C. 三 D. 四如果是两个单位向量，则下列结论中正确的是(    )A.  B.  C.  D. 我国古代数学名著九章算术中有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遗一百人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有人，南面有人，这三面要征调人，而北面共征调人用分层抽样的方法，则北面共有人．”(    )A.  B.  C.  D. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，则(    )A.  B.  C.  D. 如图所示的是函数的图像，则函数可能是(    )A.
B.
C.
D. “三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这句口头禅体现了集体智慧的强大．假设李某能力较强，他独自一人解决项目的概率为；同时，有个水平相同的人组成的团队也在研究项目，团队成员各自独立地解决项目的概率都是如果这个人的团队解决项目的概率为，且，则的最小值是参考数据：，(    )A.  B.  C.  D. 在中，设，那么动点形成的图形必通过的(    )A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D. 重心二、多选题（本题共5小题，共25分）已知四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为(    )A.  B.  C.  D. 已知，则的值可能为(    )A.  B.  C.  D. 在中，下列结论中，正确的是(    )A. 若，则是等腰三角形
B. 若，则
C. 若，则为钝角三角形
D. 若，，且结合的长解三角形，有两解，则长的取值范围是已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点、，若线段的最小值为，则(    )A. 正方体的外接球的表面积为 B. 正方体的内切球的体积为
C. 正方体的棱长为 D. 线段的最大值为已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为(    )A. 在区间上单调递增 B. 是的一个周期
C. 的值域为 D. 的图象关于轴对称三、填空题（本题共4小题，共20分）计算：______．有甲、乙两批种子，发芽率分别为和，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是______．某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量单位：小时降雨量的等级划分如表：小时降雨量精确到降雨等级小雨中雨大雨暴雨在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为，高为的圆锥形雨量器．若一次降雨过程中，该雨量器收集的小时的雨水高度是如图所示，则这小时的降雨量的等级是______．
拿破仑是十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”，在中，以，，为边向外构造的三个等边三角形的中心依改为，，，若，，利用拿破仑定理可求得的最大值为______．四、解答题（本题共6小题，共70分）已知，是实系数一元二次方程的两个虚数根，且，满足方程．
求和；
写出一个以和为根的实系数一元二次方程．已知，求为何值时．
；
；
与的夹角为钝角．某校从高三年级学生中随机抽取名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成，，，，的组，制成如图所示的频率分布直方图．
求图中的值；
估计这组数据的平均数；
若成绩在内的学生中男生占现从成绩在内的学生中随机抽取人进行分析，求人中恰有名女生的概率．
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为棱上一点，且，为棱的中点．
证明：平面平面；
求四棱锥的体积．
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
若，求；
若，求符合条件的的最小值．由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有

可见可以表示为的三次多项式．一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式．
Ⅰ求证：；
Ⅱ请求出，即用一个的四次多项式来表示；
Ⅲ利用结论，求出的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：复数，
则复数在复平面内对应的点位于第二象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：因为是两个单位向量，
所以，但两向量的方向不能确定，所以，
故AB错误，CD正确，
故选：．
根据单位向量的定义及数量积的定义即可得解．
本题主要考查了单位向量的定义，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：设北面有人，则，解得：．
故选：．
由分层抽样原则可直接构造方程求得结果．
本题主要考查分层抽样，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：因为在中，内角，，的对边分别为，，，且，
所以，
所以，
因为，
所以．
故选：．
化简已知等式可得，利用余弦定理可得，结合范围，可得的值．
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：由图，可知是非奇非偶函数，且在轴右侧，先正后负．
若，则，
所以函数为偶函数，与条件矛盾，错，
若，则，
所以函数为奇函数，与条件矛盾，错，
若，则，
当时，，与所给函数图象不一致，错．
若，则，
当时，，
又，，
所以函数为非奇非偶函数，与所给函数图象基本一致．
故选：．
根据奇偶性即可判断，代入特殊点，即可判断．
本题考查了由函数的图象确定解析式和函数的奇偶性，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：由题意，这个人组成的团队不能解决项目的概率为：，
所以，，，即，
两边取常用对数可得：，即，
解得，又，，，即的最小值为．
故选：．
由独立事件同时发生的概率公式先求出团队成员都不能解决项目的概率，再由对立事件的概率求出，由题意建立不等式求解即可．
本题考查相互独立事件的概率，属于中档题．
 7.【答案】 【解析】【分析】本题考查向量的运算法则，考查数量积与垂直的关系，明确三角形外心定义是解题的关键，属于基础题．
设线段的中点为，利用向量的运算法则把已知等式变形，结合数量积与垂直的关系得出答案．【解答】解：设线段的中点为，如图所示，

则，
，
，
，
，即且平分．
因此动点形成的图形必通过的外心．
故本题选C．  8.【答案】 【解析】解：四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，且为等边三角形，
如图所

由题意知：，
所以，
由于，所以；
所以，
所以，
点为外接球的球心，
所以，
故．
故选：．
首先根据题意求出球心的位置，进一步确定球的半径，最后求出球的表面积．
本题考查的知识要点：四棱锥体和球体的关系，球的半径的求法，球的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：因为，所以，
因为，所以方向相同或相反，
当同向时，，
当反向时，．
故选：．
根据，可得方向相同或相反，分同向和反向两种情况讨论即可得解．
本题主要考查了平行向量的定义，考查了向量的模长公式，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：对于：若，整理得，故A，则是等腰三角形，故A正确；
对于：若，转换为：，
利用正弦定理：，则，故B正确；
对于：若，则，故，故为钝角三角形，故C正确；
对于：若，，且结合的长解三角形，有两解，
则满足，即，故D错误；
故选：．
直接利用三角函数的诱导公式，正弦定理和余弦定理，三角形解的情况的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：三角函数的诱导公式，正弦定理和余弦定理，三角形解的情况的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】【分析】设正方体的棱长为，则正方体的外接球的半径，内切球的半径，求出的值，根据球的体积和表面积公式计算即可．
本题考查的知识要点：正方体的内切球和外接球，球的体积和表面积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于较难题．【解答】解：设正方体的棱长为，则正方体的外接球的半径为体对角线的一半，即，
内切球的半径为棱长的一半，即，
由于和为外接球和内切球上的动点，
对于：，解得，故C正确；
对于：外接球的表面积为，故A正确；
对于：内切球的体积为，故B正确；
对于：线段的最大值为，故D错误；
故选：．  12.【答案】 【解析】【分析】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，二次函数的性质，函数的单调性，函数的值域，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
直接利用三角函数的关系式的变换，二次函数的性质，函数的单调性，函数的值域的应用判断、、、的结论．【解答】解：函数，
对于：由于函数：，，
，，故A错误；
对于：由于，，而，故B错误；
对于：当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，
当时，，故的一个周期为，
故的值域为，故C正确．
对于：根据函数，故函数为偶函数，故函数的图象关于轴对称，故D正确；
故选：．  13.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
由已知结合两角差的余弦公式进行化简即可求解．
本题主要考查了两角差的余弦公式，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：由题意得：甲批种子发芽同时乙批不发芽或甲批种子不发芽同时乙批种子发芽，
则所求概率．
故答案为：．
利用互斥事件及独立事件概率公式即得．
本题主要考查互斥事件和相互独立事件，属于基础题．
 15.【答案】中雨 【解析】解：圆锥底面直径为，高为，雨水高度是，
水面的体积为，
水的体积为，
降雨量的等级是，
故这小时的降雨量的等级是中雨．
故答案为：中雨．
根据已知条件，求出水面的半径，然后求出容器水的体积，再将该值与圆面的面积作商，即可求解．
本题主要考查函数的实际问题，考查转化能力，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：设，，，
如图，连接，，．

由拿破仑定理知，为等边三角形．
因为为等边三角形的中心，所以在中，
，同理，
又，，
所以．
在中，由勾股定理可得，
即，化简得，
由基本不等式得，
解得，当且仅当时取等号，
所以的最大值为．
先由正弦定理及解三角形求得，再结合基本不等式求最大值即可．
本题考查了解三角形，重点考查了基本不等式，属中档题．
 17.【答案】解：根据题意，设，，代入中，
得，整理得，
，解得，
，；
；，
以和为根的实系数一元二次方程为． 【解析】根据题意设，，代入，得到关于，的方程，再求出，，即可可解决此问题．
利用根与系数关系，即可解决此问题．
本题考查复数运算、复数根，考查运算能力，属于中档题．
 18.【答案】解：，，
，解得．
，，
解得．
与的夹角为钝角，
且，
解得且． 【解析】本题考查向量的运算，考查向量共线、向量垂直的性质、向量数量积公式、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用向量平行的性质直接求解；
利用向量垂直的性质直接求解；
利用向量数量积公式、向量夹角余弦公式直接求解．
 19.【答案】解：由频率分布直方图得，
解得；
这组数据的平均数；
数学成绩在内的人数为人，
其中数学成绩在内的男生人数为人，则女生人数为人，
记名男生分别为，，名女生分别为，，，
从数学成绩在内的人中随机抽取人进行分析的基本事件为
，，，，，，，，，共种结果，
其中人中恰有名女生的基本事件为，，，，，，共种结果，
所以人中恰有名女生的概率为． 【解析】利用频率分布直方图中小长方形面积和等于，即可计算出的值；
利用已知数据和平均数的公式即可求出平均数；
利用列举法和古典概型的概率公式即可求解．
本题考查频率分布直方图、古典概型，考查运算求解能力，考查逻辑推理、数学运算核心素养解．
 20.【答案】证明：由题意，，
，
平面平面，
平面，平面平面，
平面，
又平面，
平面平面；
解：设的中点为，连接，

，是等腰三角形，
，即是梯形底边上的高，，
由题意，，梯形的面积，
是的中点，到底面的距离为，
四棱锥的体积为；
综上，四棱锥的体积为． 【解析】由题意可知平面，即可证明平面平面；
根据图中的几何关系，求出四边形的面积，根据是的中点，即可求解．
本题考查了空间中的垂直关系以及四棱锥体积的计算，属于中档题．
 21.【答案】解：，
即，
，，两边平方得，即，
，，，
，
，
．
由可得，，
则，
则，，，
由得，，
设，则，，当且仅当时，
等号成立，
故符合条件的的最小值为． 【解析】由三角恒等变换得出，再由，得出．
由结合正弦定理以及得出，令，结合基本不等式得出的最小值．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于难题．
 22.【答案】解：证明：
，故等式成立．

．
，，
，． 【解析】利用诱导公式可得，把已知的条件代入可证得结论成立．
两次使用二倍角公式，即可求得结果．
利用，可得，解方程求出的值．
本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，正确选择公式是解题的关键．