初中湘教版1.1 反比例函数优质第3课时教案

课题

＊ 1.2  第3课时 反比例函数图象与性质的综合应用

本课（章节）需 6 课时 ，本节课为第 4 课时，为本学期总第 4 课时

教

学

目

标

1、知识与技能

（1）.会求反比例函数的解析式；

（2）.巩固反比例函数图象和性质，通过对图象的分析，进一步探究反比例函数的增减性.

2、过程与方法

经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力.

3.情感与价值观：

提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.

重点

会求反比例函数的解析式.

难点

反比例函数图象和性质的运用.

主备教师

教具

多媒体、三角尺

课型

新授

教   学   过   程

个案修改

一、创设情境，导入新课

复习提问：

问题1、反比例函数的图象是什么？

问题2、反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？

我们学会了根据函数解析式画函数图象，那么你能根据一些条件(如函数图象上点的坐标）求反比例函数的解析式吗？

二、合作交流，探究新知

【动脑筋】：已知反比例函数y=的图象经过点P（2,4）

（1）求k的值，并写出该函数的表达式；

（2）判断点A（-2，-4），B(3,5)是否在这个函数的图象上；

（3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大如何变化？

分析：(1)题中已知图象经过点P（2，4），即表明把P点坐标代入解析式成立，这样能求出k，解析式也就确定了.

(2)要判断A、B是否在这条函数图象上，就是把A、B的坐标代入函数解析式中，如能使解析式成立，则这个点就在函数图象上.否则不在.

(3)根据k的正负性，利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y随x的值的变化情况.

 解：（1）因为反比例函数的图象经过点P(2，4），即点P的坐标满足这一函数表达式，因而

解得k=8.

因此，这个反比例函数的表达式为.

（2）把点A，B的坐标分别代入，可知点A的坐标满足函数表达

式，点B的坐标不满足函数表达式，所以点A在这个函数的图象上，点B不

在这个函数的图象上.

（3）因为k>0，所以这个反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个

象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.  

图1-8是反比例函数的图象.

根据图象，回答下列问题：

（1）k的取值范围是k>0还是k<0？说明理由；        图1-8

（2）如果点A（-3，y1），B(-2，y2）是该函数图象上的两点，试比较y1，y2的大小。

解：（1)由图1-8可知，反比例函数上的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，因此，k>0.

（2）因为点A（-3，y1），B（-2，y2）是该图象上的两点，且-3<0，-2<0，所以点A，B都位于第三象限.又因为-3<-2，由反比例函数图象的性质可知：y1>y2.

已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P(-3，4）.试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.

解：设正比例函数、反比例函数的表达式分别为y=k1x，，其中k1，

k2为常数，且均不为零。

由于这两个函数的图象交于点P(-3，4），则点P(-3，4）是这两个函数图象上的点，即点P的坐标分别满足这两个表达式。

因此4=k1×（-3），

解得k1=，k2=-12.

因此，这两个函数的表达式分别为和，它们的图象如

图1-9所示.

图1-9

   【探究】若点P是(k≠0)图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴于点A，作 PB 垂直于 y 轴与点B，试探究矩形 AOBP 的面积S与比例系数k的关系.

交流讨论：设点 P 的坐标为 (a，b)，则

 PA =, PB =

∵点 P (a，b) 在函数 的图象上，

⸫，即ab=k

⸫S =PA﹒PB =﹒=

【归纳及推论】：

 反比例函数的比例系数k的几何意义:若点P是反比例函数图象上的任意一点，作PA 垂直于x轴于点A，作 PB 垂直于y 轴于点B，矩形AOBP的面积与 k 的关系是S矩形AOBP=. 

 推论：连接PO,则△PAO与△PBO的面积和k的关系是：

 S△QAO=S△QBO=S矩形AOBP=.

    以上两个结论又统称为反比例函数的面积不变性.

三、针对练习，巩固提高

1、已知点P(-1，4)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则k的值是(　　)

A．-        B.        C．4        D．-4

【解析】：∵点P(-1，4)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，∴k＝xy＝(-1)×4＝-4，故选D.

【自我诊断】1.已知变量y是x的反比例函数，当x=2时，y=4，则y与x的函数表达式为          ，若y=-3，则x=     .

【解答】    

【方法总结】：本题考查待定系数法确定反比例函数的解析式，已知反比例函数上一点的坐标或一组自变量及对应函数的值，要求函数解析式，只要把这点的坐标或这一组自变量及对应函数的值代入就可求得．

2、若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)都是反比例函数y＝的图象上的点，且x1<0<x2<x3，则y1，y2，y3由小到大的顺序是__________________．

【解析】：（方法一）：∵k＝1>0，∴y＝的图象位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，∵x1<0<x2<x3，∴y1<0<y3<y2，故y1<y3<y2.

（方法二）：如图，画出反比例函数y＝图象的草图,

在函数草图上绘出A、B、C三点的大致位置.则由图可知：y1<y3<y2.

【自我诊断】2.若点A(-2，-2）在反比例

函数y＝的图象上，则当时，x的取值范围

是               .

【答案】x≤-2或x>0.

点拨：画出函数草图并描出点A,由图可知：

当时，x的取值范围是x≤-2或x>0.

【方法总结】：解决这类问题时应该从反比例函数图象性质入手，通过图象在不同象限中的性质来判断点的坐标的大小关系，解题时可画出反比例函数的大致图象，方便解答．

3、在同一直角坐标系中，函数y＝kx－k与y＝(k≠0)的图象大致是(　　)

【解析】：在同一直角坐标系中，函数y＝kx－k与y＝(k≠0)的图象只有两种情况，当k>0时，y＝分布在第一、三象限，此时y＝kx－k经过第一、三、四象限；当k<0时，y＝分布在第二、四象限，此时y＝kx－k经过第一、二、四象限，故选D.

【自我诊断】3.如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于M、N两点．

(1)求反比例函数与一次函数的表达式；

(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．

【解答】：(1)由反比例函数定义可知k＝(－1)×(－4)＝4.

∴y＝，而M(2，m)在反比例函数图象上．

∴m＝＝2，∴M(2，2)．

即在一次函数图象上有

∴a＝2，b＝－2，∴y＝2x－2.

(2)由图中观察可知，满足题设x的取值范围为x<－1或0<x<2.

【方法总结】：①判断函数图象分布是否正确，主要通过假设条件，根据函数的图象及性质判断，若与选项一致则正确；若相矛盾，则错误．

②分别利用反比例函数和一次函数的定义求出其解析式，根据图象和性质判断，在解题过程中要考虑全面，不要漏解．

4、如图所示，在平面直角坐标系中，过点M的直线与 x 轴平行，且直线分别与反比例函数(x＞0) 和(x＜0)的图象交于点P，Q，若△POQ 的面积为 8，则k =______.

【解析】由图可知：k＜0且，解得k =-10.

【自我诊断】4.如图所示，点A在反比例函数y＝的图象上，AC垂直x轴于点C，且△AOC的面积为2，求该反比例函数的表达式．

【解答】：∵S△AOC＝yA·xA，且A在反比例函数y＝的解析式上，∴xA·yA＝k，∴S△AOC＝·k＝2，∴k＝4，∴反比例函数的表达式为y＝.

【方法总结】：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴与向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积等于|k|值的一半．

 四、课堂小结，升华知识

知识要点1：反比例函数(k≠0)中k的几何意义

知识要点2：反比例函数与一次函数的综合性问题

五、反馈检查，完善自我

课本P11-12   练习第1,2,3题。

教

学

反

思

本次教学过程重在归纳总结，通过引导学生主动参与来加深其对知识的理解，在结合基本题型教学的同时，通过发散思维的引导，进一步提升学生的创新思维和实际动手能力，全面提升学生的认知水平．