新高考高考数学一轮复习巩固练习8.2第69练《两条直线的位置关系》（2份打包，解析版+原卷版）

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考点一 两条直线的平行与垂直
1．(多选)(2022·长沙模拟)下列结论错误的是( )
A．若直线l1，l2的斜率相等，则l1∥l2
B．若直线的斜率k1·k2＝1，则l1⊥l2
C．若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1∥l2
D．若直线l1，l2的斜率不相等，则l1与l2不平行
答案 ABC
解析 若直线l1，l2的斜率相等，则l1∥l2或l1与l2重合， 所以A结论错误；若直线的斜率k1·k2＝－1，则l1⊥l2，所以B结论错误；若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1∥l2或l1与l2重合，所以C结论错误；D结论正确．
2．已知直线l1：(m－3)x－2y＋2＝0和直线l2：3mx－3y－5＝0垂直，则m的值为( )
A．－1 B．1
C．－1或2 D．1或2
答案 D
解析 因为直线l1：(m－3)x－2y＋2＝0和直线l2：3mx－3y－5＝0垂直，所以eq \f(m－3,2)·m＝－1，解得m＝1或m＝2，经检验都成立．
3．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)，(x,6)，且l1∥l2，则x等于( )
A．2 B．－2 C．4 D．1
答案 A
解析 由题意可知l1上的点的横坐标相同，所以l1垂直于x轴，故l2也垂直于x轴，所以x＝2.
考点二 两条直线的交点坐标
4．点A(2，－3)，B(3,2)，直线ax－y－2＝0与线段AB相交，则实数a的取值范围是( )
A．－eq \f(4,3)≤a≤eq \f(1,2) B．a≥eq \f(1,2)或a≤－eq \f(4,3)
C．－eq \f(1,2)≤a≤eq \f(4,3) D．a≥eq \f(4,3)或a≤－eq \f(1,2)
答案 C
解析 直线ax－y－2＝0过定点C(0，－2)，所以kAC＝eq \f(－2＋3,0－2)＝－eq \f(1,2)，kBC＝eq \f(2＋2,3－0)＝eq \f(4,3)，所以－eq \f(1,2)≤a≤eq \f(4,3).
5．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足坐标为(1，p)，则m－n＋p为( )
A．24 B．－20 C．0 D．20
答案 D
解析 由两直线互相垂直，得－eq \f(m,4)×eq \f(2,5)＝－1，
解得m＝10，
又垂足坐标为(1，p)，代入直线5x＋2y－1＝0，
得p＝－2.
将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0，
得n＝－12，
所以m－n＋p＝20.
考点三 点到直线的距离公式
6．设直线l1：x＋3y－7＝0 与直线l2：x－y＋1＝0的交点为P，则P到直线l：x＋ay＋2－a＝0的距离最大值为( )
A.eq \r(10) B．4 C．3eq \r(2) D.eq \r(11)
答案 A
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3y－7＝0，,x－y＋1＝0，))解得交点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2))，
∵x＋ay＋2－a＝0即x＋2＋aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－1))＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,y－1＝0，))解得Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，1))，
∴直线l恒过定点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，1))，
易知，当PQ⊥l时，P到直线l的距离最大，
最大值为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PQ))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋2))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－1))2)＝eq \r(10).
7．(2022·青岛模拟)若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案 C
解析 方法一 当直线l的斜率不存在时，易知直线l：x＝2满足条件；当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(|b＋k|,\r(k2＋1))＝1，,\f(|b＋4k|,\r(k2＋1))＝2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝\f(\r(2),4)，,b＝\f(\r(2),2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－\f(\r(2),4)，,b＝－\f(\r(2),2).))
所以直线l的方程为y＝eq \f(\r(2),4)x＋eq \f(\r(2),2)或y＝－eq \f(\r(2),4)x－eq \f(\r(2),2)或x＝2.
方法二 如图，
分别以A，B为圆心，1,2为半径作圆，依题意，直线l是圆A的切线，因为点A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，点B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．
考点四 两条平行线间的距离
8．(2022·济南模拟)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为( )
A.eq \f(4\r(2),3) B．4eq \r(2)
C.eq \f(8\r(2),3) D．2eq \r(2)
答案 C
解析 因为l1∥l2，所以a≠2且a≠0，
所以eq \f(1,a－2)＝eq \f(a,3)≠eq \f(6,2a)，解得a＝－1，
所以l1，l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，
l2：x－y＋eq \f(2,3)＝0，所以l1与l2的距离为d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(6－\f(2,3))),\r(2))＝eq \f(8\r(2),3).
9．与直线l：3x－4y－1＝0平行且与直线l间的距离为2的直线方程是( )
A．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0
B．3x－4y－11＝0
C．3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝0
D．3x－4y＋9＝0
答案 A
解析 设直线为3x－4y＋c＝0，则d＝eq \f(|c＋1|,5)＝2，c＝－11或9.
10．已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6,3a＋4b＝1，则eq \r(m－a2＋n－b2)的最小值为( )
A.eq \r(3) B.eq \r(2) C．1 D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 由题意知点A(m，n)和点B(a，b)分别在直线l1：3x＋4y＝6与l2：3x＋4y＝1上， |AB|＝eq \r(m－a2＋n－b2)，由l1∥l2得， |AB|min＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(6－1)),\r(32＋42))＝1.
11．设a∈R，则“a＝－1”是“直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行的充要条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－1＝0，,5a＋1≠0，))即a＝±1，故“a＝－1”是“直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行”的充分不必要条件．
12．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤eq \f(1,8)，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )
A.eq \f(\r(2),2)，eq \f(1,2) B.eq \r(2)，eq \f(\r(2),2)
C.eq \r(2)，eq \f(1,2) D.eq \f(\r(2),4)，eq \f(1,4)
答案 A
解析 ∵a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，
∴a＋b＝－1，ab＝c，两条直线之间的距离d＝eq \f(|a－b|,\r(2))，
∴d2＝eq \f(a＋b2－4ab,2)＝eq \f(1－4c,2)，
∵0≤c≤eq \f(1,8)，∴eq \f(1,2)≤1－4c≤1，∴d2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))，
∴这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为eq \f(\r(2),2)，eq \f(1,2).
13．直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，线段AB的中点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1))，则直线l的斜率为( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3) C．－eq \f(3,2) D．－eq \f(2,3)
答案 D
解析 设直线l的斜率为k，又直线l过点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1))，则直线l的方程为y＋1＝k(x－1)，
联立直线l与y＝1，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＋1＝kx－k，,y＝1，))
解得x＝eq \f(k＋2,k)，所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k＋2,k)，1))；
联立直线l与x－y－7＝0，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＋1＝kx－k，,x－y－7＝0，))
解得x＝eq \f(6－k,1－k)，y＝eq \f(6k－1,1－k)，
所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6－k,1－k)，\f(6k－1,1－k)))，
又线段AB的中点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1))，
所以eq \f(k＋2,k)＋eq \f(6－k,1－k)＝2，解得k＝－eq \f(2,3).
14．(2022·沈阳模拟)如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为________．
答案 6
解析 以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设B(a，－2)，C(b,3)．
因为AC⊥AB，
所以ab－6＝0，ab＝6，b＝eq \f(6,a)，
所以Rt△ABC的面积S＝eq \f(1,2)eq \r(a2＋4)·eq \r(b2＋9)＝eq \f(1,2)eq \r(a2＋4)·eq \r(\f(36,a2)＋9)＝eq \f(1,2)eq \r(72＋9a2＋\f(144,a2))≥eq \f(1,2)eq \r(72＋72)＝6(当且仅当a2＝4时取等号)．
所以△ABC的面积的最小值为6.