新高考高考数学一轮复习巩固练习3.11第29练《高考大题突破练—隐零点问题》（2份打包，解析版+原卷版）

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考点一 直接法
1．函数f(x)＝(x－1)ln x－a.
(1)若f(x)在x＝1处的切线方程为y＝1，求a的值；
(2)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)f′(x)＝eq \f(xln x＋x－1,x)，
f′(1)＝0，
且f(1)＝－a，
∴切线方程为y－(－a)＝0，即y＝－a，
∴a＝－1.
(2)f(x)≥0恒成立，即a≤(x－1)ln x恒成立，
令φ(x)＝(x－1)ln x，
∴φ′(x)＝eq \f(xln x＋x－1,x)(x>0)，
观察知φ′(1)＝0且当x∈(0,1)时，xln x0，
∴φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)min＝φ(1)＝0.
故a≤0，即实数a的取值范围是(－∞，0]．
考点二 虚设零点
2．已知函数f(x)＝aex－2x，a∈R.
(1)求函数f(x)的极值；
(2)当a≥1时，证明：f(x)－ln x＋2x>2.
(1)解 f′(x)＝aex－2，
当a≤0时，f′(x)0时，令f′(x)＝0得x＝ln eq \f(2,a)，
令f′(x)>0得x>ln eq \f(2,a)，
令f′(x)0，
∵g′(x)＝ex－eq \f(1,x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x>0))，
令φ(x)＝ex－eq \f(1,x)(x>0)，
则φ′(x)＝ex＋eq \f(1,x2)(x>0)，
则φ′(x)>0，
∴g′(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∵g′(1)＝e－1>0，g′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \r(e)－20，
∴f(x)－ln x＋2x>2.
3．已知函数f(x)＝xln x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程；
(2)若当x>1时，f(x)＋x>k(x－1)恒成立，求正整数k的最大值．
解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ln x＋1，因为f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e))＝2，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e))＝e，
所以曲线y＝f(x)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e))))处的切线方程为y－e＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－e))，
即2x－y－e＝0.
(2)由f(x)＋x>k(x－1)，
得xln x＋x>k(x－1)．
即k1恒成立，
令g(x)＝eq \f(xln x＋x,x－1)，只需k0，
所以u(x)＝x－ln x－2在(1，＋∞)上单调递增，
因为ueq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))＝－ln 2