高中数学知识点空间向量与立体几何 空间几何体--《空间几何体的表面积》自主学习任务单

高中数学知识点空间向量与立体几何 空间几何体--《空间几何体的表面积》自主学习任务单

一、学习目标 ：

1．   理解直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的概念;

2．   让学生经历空间几何体的侧面展开过程，感知侧面展开图的形状，了解空间几何体的侧面积计算公式的推导过程;

3．   培养学生观察、分析、归纳的能力，以及数学应用意识与辨证的思想.

学习重点难点

理解直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的概念;了解空间几何体的侧面积计算公式的推导过程。

二、学习过程：

（一）复习引入

问题1：什么是空间几何体的表面积？

问题2：初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？

问题3:在求长方体和正方体的表面积，用到了一个什么样的数学思想呢？

问题4:棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？

如何计算它们的表面积？

（二）数学建构

四个有关概念：

（1）直棱柱：                                                   ；

（2）正棱柱：                                                   ；

（3）正棱锥：                                                   ；

（4）正棱台：                                                   .

问题5 ：直棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？

问题6：把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？它的侧面积怎么求？

问题7：把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？它的侧面积怎么求？

问题8：正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积有什么关系？

问题9：把圆柱的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形？展开的图形与原图有什么关系？你能推出圆柱的侧面积公式吗？

问题10：把圆锥的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形？展开的图形与原图有什么关系？你能推出圆锥的侧面积公式吗？

问题11：把圆台的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形？展开的图形与原图有什么关系？你能推出圆台的侧面积公式吗？

问题12：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间有何联系？

（三）数学应用

例1： 设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85m，底面的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米的铁板？（保留两位有效数字）

问题13：根据题意，本题实际上是计算正四棱锥的什么量？求这个量需要哪些基本条件（基本量）？

问题14：所求量与已知量有什么关系？如何构造一个特殊的三角形来求斜高？

总结： 解决正四棱锥的侧面积需要求出相应的基本量（基本条件）.

例2 一个直角梯形上底、下底和高之比是，将此直角梯形以垂直于底的腰旋转一周形成一个圆台，求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积的比.

问题15：计算圆台的侧面积，需要哪些基本量？

问题16：该题又如何构造一个特殊的三角形来求母线长呢？

总结:根据公式计算圆台的侧面积需要知道相应的量．

例3：有一根长为5cm,底面半径为1cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕4圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少厘米?(精确到0.1cm)

问题17：.解决立体几何问题的指导思想是什么？

问题18: 你能否将这个空间问题转化为平面问题呢？

问题19:应该怎样缠绕，才能使铁丝的长度最短？

总结:解决立体几何问题要将空间问题转化为平面问题．

（四）反思感悟（小结）

本节课你学到了什么？主要从以下几个方面总结：

（1）你能熟练的画出多面体的平面展开图吗？

（2）什么是直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台？ 你会求它们的侧面积吗？

（3）你会求圆柱、圆台、圆锥的侧面积吗？

（4）你能否将这个空间问题转化为平面问题呢？

三、效果检测

1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（　　）.

A.4π　　　　　　　　　　　　 B.3π

C.2π   D.π

2. 如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积是（　　）.

A.532π　　　　　　　　　　 B.523π

C. 632π D.623π

3. 底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是________．

4. 已知正三棱锥P­ABC的底面边长为4 cm，它的侧棱与高所成的角为45°，求正三棱锥的表面积．

5. 一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，在其中有一个高为x cm的内接圆柱．

（1）求圆锥的侧面积；

（2）当x为何值时，圆柱侧面积最大？并求出最大值．

附：空间几何体的表面积（课本教材）

《空间几何体的表面积》参考答案

例1.

例2.

例3．

三、效果检测：

1.C

分析：底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π

2. A

分析：以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，

其上底半径是4 cm，下底半径是16 cm，

母线DC＝＝13（cm），

所以该几何体的表面积为

π（4＋16）×13＋π×42＋π×162＝532π（cm2）

3. 8

分析：设直棱柱底面边长为a，高为h，则h＝＝2，

a＝×＝1，

所以S棱柱侧＝4×1×2＝8.

4.如图所示，设O为正三角形ABC的中心，连结PO，连结AO并延长交BC于D，连结PD，则PO是正三棱锥P­ABC的高.

由正三角形ABC的性质知，D是BC的中点，

又PB＝PC，故PD⊥BC，即PD是三棱锥的斜高.

由已知∠APO＝45°，AO＝××4＝（cm），

所以PA＝AO＝×＝（cm），

所以PB＝（cm）.

所以PD＝＝ ＝（cm）.

所以正三棱锥P­ABC的侧面积为：

S侧＝3S△PBC＝3××4×＝4（cm2），

底面积：S底＝×42×＝4（cm2）.

故S表面积＝S侧＋S底＝4＋4

＝4（＋）（cm2）.

5.（1）母线l＝＝2 cm，

S侧面积＝π×2×2＝4π（cm2）；

（2）设圆柱的底面半径为r cm，则＝，

所以r＝2－，

则圆柱的侧面积为S＝2π·x＝－（x－3）2＋6π，

所以当x＝3 cm时，S最大＝6π cm2.