初中数学冀教版九年级上册24.4 一元二次方程的应用第1课时教案

24．4  一元二次方程的应用第1课时 面积问题

第1课时 

1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；（重点、难点）

2．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、情境导入

如图，在长为10 cm，宽为8 cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，你能求出所截去小正方形的边长吗？

二、合作探究

探究点：用一元二次方程解决图形面积问题

【类型一】  利用面积构造一元二次方程模型

  用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为(　　)

A．x(5＋x)＝6    B．x(5－x)＝6

C．x(10－x)＝6   D．x(10－2x)＝6

解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5－x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程为x(5－x)＝6．故选B．

方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程．

现有一块长80 cm、宽60 cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1500 cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长．

解析：设小正方形的边长为x cm，则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程．

解：设小正方形的边长为x cm，则可得这个长方体盒子的底面的长是(80－2x) cm，宽是(60－2x) cm，由题意得(80－2x)(60－2x)＝1500，整理得x2－70x＋825＝0，解得x1＝55，x2＝15．又60－2x>0，∴x＝55不合题意，舍去．∴小正方形的边长为15 cm．

方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可．

【类型二】整体法构造一元二次方程模型

  如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为               ．

解析：解法一：如图，把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x的代数式表示草坪的长为(22－x)米，宽为(17－x)米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程为(22－x)(17－x)＝300．

解法二：根据面积的和差可列方程：22×17－22x－17x＋x2＝300．

方法总结：解答与边框、甬道有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解．

【类型三】 利用一元二次方程解决动点问题

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1 cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度移动．

(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8 cm2？

(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得

△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．

解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出PC与CQ的长，根据面积公式建立方程求解．

解：(1)设x s后，可使△PCQ的面积为8 cm2，则AP＝x cm，PC＝(6－x) cm，CQ＝2x cm．根据题意，得(6－x)·2x＝8．整理，得x2－6x＋8＝0．解得x1＝2，x2＝4．∴P、Q同时出发，2 s或4 s后可使△PCQ的面积为8 cm2．

(2)不存在．理由如下：设点P出发x s后，△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．根据题意，得(6－x)·2x＝××6×8．整理，得x2－6x＋12＝0．∵b2－4ac＝－12＜0，此方程没有实数根，∴不存在使△PCQ的面积等于△ABC的面积一半的时刻．

三、板书设计

与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好．