初中数学冀教版九年级上册25.5 相似三角形的性质第1课时教案设计
展开25.5 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形的性质定理1
1.明确相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系;(重点)
2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题.(难点)
一、情境导入
两个三角形相似,除了对应边成比例、对应角相等之外,还可以得到许多有用的结论.例如,在图中,△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形,相似比为k,其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高,那么AD、A′D′之间有什么关系?
二、合作探究
探究点一:相似三角形对应高的比
如图,△ABC中,DE∥BC,AH⊥BC
于点H,AH交DE于点G.已知DE=10,
BC=15,AG=12.求GH的值.
解:∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC.
又∵AH⊥BC,DE∥BC,
∴AH⊥DE.
∴=,即=.∴AH=18.
∴GH=AH-AG=18-12=6.
方法总结:利用相似三角形的性质:对应高的比等于相似比,将所求线段转化为求对应高的差.
如图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=12 cm,高AD=8 cm,要把它加工成矩形零件,使一边在BC上,其余两个顶点分别在边AB、AC上,且矩形的长(PQ)与宽(PN)的比为3∶2,求矩形的长和宽.
解:如图,设AD交PQ于点H.
∵四边形PQMN是矩形,∴BC∥PQ.
∴△APQ∽△ABC.∴.
由于矩形长(PQ)与宽(PN)的比为,
设cm,则cm.
则,解得.
,.
答:矩形的长为6 cm,宽为4 cm.
方法总结:主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比,熟记性质并列出比例式是解题的关键.
探究点二:相似三角形对应角平分线的比
两个相似三角形的两条对应边的长分别是6 cm和8 cm,如果它们对应的两条角平分线的和为42 cm,那么这两条角平分线的长分别是多少?
解:方法一:设其中较短的角平分线的长为x cm,则另一条角平分线的长为(42-x)cm.
根据题意,得=.解得x=18.
∴42-x=42-18=24(cm).
方法二:设较短的角平分线长为xcm,则由相似性质有=.解得x=18.则较长的角平分线长为24 cm.
故这两条角平分线的长分别为18 cm,24c m.
方法总结:在利用相似三角形的性质解题时,一定要注意“对应”二字,只有对应线段的比才等于相似比,而相似比即为对应边的比,列比例式时,尽可能回避复杂方程的变形.
探究点三:相似三角形对应中线的比
已知△ABC∽△A′B′C′,=,AB边上的中线CD=4 cm,求A′B′边上的中线C′D′.
解:∵△ABC∽△A′B′C′,CD是AB边上的中线,C′D′是A′B′边上的中线,
∴==.
又∵CD=4 cm,
∴C′D′==×4=6(cm).
故A′B′边上的中线C′D′的长是6 cm.
方法总结:相似三角形对应中线的比等于相似比.
三、板书设计
相似三角形的性质定理1:
通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系,经历“观察-猜想-论证-归纳”的过程,渗透逻辑推理的方法,培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度,并在其中体会类比的数学思想,培养学生大胆猜测、勇于探索、勤于思考的数学品质,提高分析问题和解决问题的能力.
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