初中数学冀教版九年级上册25.5 相似三角形的性质第1课时教案设计

25．5  相似三角形的性质 第1课时  相似三角形的性质定理1

1．明确相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系；（重点）

2．能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点）

一、情境导入

两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论．例如，在图中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？

二、合作探究

探究点一：相似三角形对应高的比

如图，△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC

于点H，AH交DE于点G．已知DE＝10，

BC＝15，AG＝12．求GH的值．

解：∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C．

∴△ADE∽△ABC．

又∵AH⊥BC，DE∥BC，

∴AH⊥DE．

∴＝，即＝．∴AH＝18．

∴GH＝AH－AG＝18－12＝6．

方法总结：利用相似三角形的性质：对应高的比等于相似比，将所求线段转化为求对应高的差．

  如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝12 cm，高AD＝8 cm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上，且矩形的长（PQ）与宽（PN）的比为3∶2，求矩形的长和宽．

解：如图，设AD交PQ于点H.

∵四边形PQMN是矩形，∴BC∥PQ.

∴△APQ∽△ABC.∴．

由于矩形长（PQ）与宽（PN）的比为，

设cm，则cm.

则，解得．

，．

答：矩形的长为6 cm，宽为4 cm．

方法总结：主要利用了相似三角形对应高的比等于相似比，熟记性质并列出比例式是解题的关键．

探究点二：相似三角形对应角平分线的比

  两个相似三角形的两条对应边的长分别是6 cm和8 cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42 cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？

解：方法一：设其中较短的角平分线的长为x cm，则另一条角平分线的长为（42－x）cm．

根据题意，得＝．解得x＝18．

∴42－x＝42－18＝24（cm）．

方法二：设较短的角平分线长为xcm，则由相似性质有＝．解得x＝18．则较长的角平分线长为24 cm．

故这两条角平分线的长分别为18 cm，24c m．

方法总结：在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字，只有对应线段的比才等于相似比，而相似比即为对应边的比，列比例式时，尽可能回避复杂方程的变形．

探究点三：相似三角形对应中线的比

  已知△ABC∽△A′B′C′，＝，AB边上的中线CD＝4 cm，求A′B′边上的中线C′D′．

解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，

∴＝＝．

又∵CD＝4 cm，

∴C′D′＝＝×4＝6（cm）．

故A′B′边上的中线C′D′的长是6 cm．

方法总结：相似三角形对应中线的比等于相似比．

三、板书设计

相似三角形的性质定理1：

通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，经历“观察－猜想－论证－归纳”的过程，渗透逻辑推理的方法，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜测、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力．