初中数学冀教版九年级上册25.5 相似三角形的性质第2课时教案

25．5  相似三角形的性质第2课时  相似三角形的性质定理2、3

1．理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方；（重点）

2．掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用．（难点）　　　　　　　　　　　　　

一、情景导入

如图是一个三角形的花坛，要在上面种满花草，园丁沿与AB平行的方向画一条直线，将花坛分割出一片三角形地块，测出△CDE的面积为10 m2，CD长为4 m，BD长为6 m．根据所测得的数据，请你计算出整个花坛△ABC的面积．

二、合作探究

探究点一：相似三角形的性质定理2、3

【类型一】 相似三角形的周长比

已知△ABC∽△A′B′C′，AD是△ABC的中线，A′D′是△A′B′C′的中线，若＝，且△A′B′C′的周长为20 cm，求△ABC的周长．

解：因为△ABC∽△A′B′C′，所以它们周长的比等于它们的相似比，对应边中线的比等于相似比，即相似比k＝＝，＝．

已知△A′B′C′的周长为20 cm，所以＝．所以△ABC的周长为10 cm．

易错提醒：在相似表达式△ABC∽△A′B′C′及对应中线比＝中，都是△ABC在前，△A′B′C′在后，而在出现问题时，△A′B′C′在前，△ABC在后，顺序已经不同了，所以相似比要随之调整或者直接把相关量代入关系式求解．

【类型二】 相似三角形的面积比

若△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的相似比为(　　)

A．1∶2         B．∶2

C．1∶4         D．∶1

解析：∵△ABC∽△A′B′C′，其面积比为1∶2，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶＝∶2．故选B．

方法总结：解决问题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．

【类型三】  利用相似比求三角形的周长和面积

  如图，平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝EC，BD、AE相交于F点．

(1)求△BEF与△AFD的周长之比；

(2)若S△BEF＝6 cm2，求S△AFD．

解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解．

解：(1)∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，

∴△BEF∽△DAF．

又∵BE＝BC，∴＝.

∴△BEF与△AFD的周长之比为；

(2)由(1)可知△BEF∽△DAF，且相似比为，

∴＝()2.∴S△AFD＝4S△BEF＝4×6＝24 cm2．

方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．

探究点二：相似三角形判定与性质的综合运用

【类型一】 利用相似三角形的性质和判定进行计算

如图，在锐角三角形ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别为18和8，DE＝3，求AC边上的高．

解析：求AC边上的高，先将高线作出，求出AC的长，再由△ABC的面积为18，即可求出AC边上的高．　　

解：过点B作BF⊥AC，垂足为点F．∵AD⊥BC, CE⊥AB，∴Rt△ADB∽Rt△CEB.∴＝，即＝.

∵∠ABC＝∠DBE，∴△EBD∽△CBA,.∴＝()2＝．又∵DE＝3，∴AC＝4.5．∵S△ABC＝AC·BF＝18,

∴BF＝8．

方法总结：解决此类问题，可利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解答．

【类型二】 利用相似三角形对应线段的比等于相似比解决问题

  如图，PN∥BC，AD⊥BC交PN于E，交BC于D．

(1)若AP∶PB＝1∶2，S△ABC＝18，求S△APN；

(2)若S△APN∶S四边形PBCN＝1∶2，求的值．

解析：(1)由相似三角形面积比等于对应边的平方比即可求解；(2)由△APN与四边形PBCN的面积比可得△APN与△ABC的面积比，进而可得其对应边的比．

解：(1)∵PN∥BC，∴∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C.

∴△APN∽△ABC.∴＝()2．∵AP∶PB＝1∶2，

∴AP∶AB＝1∶3．又∵S△ABC＝18，∴＝()2＝.∴S△APN＝2；

(2)∵PN∥BC，∴∠APE＝∠B，∠AEP＝∠ADB.

∴△APE∽△ABD.∴＝.∴＝()2＝()2．

∵S△APN∶S四边形PBCN＝1∶2，∴＝＝()2.

∴＝＝．

方法总结：利用相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．

【类型三】  利用相似三角形的性质解决动点问题

  如图，已知△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P点在AC上(与A、C不重合)，Q点在BC上．

(1)当△PQC的面积是四边形PABQ面积的时，求CP的长；

(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．

解析：(1)由于PQ∥AB，故△PQC∽△ABC.当△PQC的面积是四边形PABQ面积的时，△CPQ与△CAB的面积比为1∶4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出CP的长；(2)由于△PQC∽△ABC，根据相似三角形的性质，可用CP表示出PQ和CQ的长，进而可表示出AP、BQ的长．根据△CPQ和四边形PABQ的周长相等，可将相关的各边相加，即可求出CP的长．

解：(1)∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC.

∵S△PQC＝S四边形PABQ，∴S△PQC∶S△ABC＝1∶4.

∵AC＝4，∴CP＝CA＝2；

(2)∵△PQC∽△ABC，∴＝＝.∴＝.

∴CQ＝CP．同理可知PQ＝CP.∵C△PCQ＝C四边形PABQ，∴CP＋PQ＋CQ＝PA＋AB＋BQ＋PQ，即CP＋CP＋CP＝4－CP＋5＋3－CP＋CP.∴CP＝12.∴CP＝．

方法总结：由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决面积、线段的问题是解题的关键．

三、板书设计

相似三角形的性质定理2、3：

相似三角形判定与性质的综合运用

经历相似三角形的性质的探索过程，培养学生的探索能力．通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体验化归思想．运用相似三角形的周长比、面积比解决实际问题，训练学生的运用能力，增强学生对知识的应用意识．