2021学年24.2 解一元二次方程第1课时教案及反思

24．2  解一元二次方程节 第1课时  配方法

1．学习用直接开平方法解形如x²＝p或（mx＋n）²＝p（p≥0）的方程；（重点）

2．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤；（重点）

3．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题．（难点）　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、情境导入

一块石头从20 m高的塔上落下，石头离地面的高度h(m)和下落时间x(s)大致有如下关系：h＝20－5x2，问石头经过多长时间落到地面？

二、合作探究

探究点一：直接开平方法

  用直接开平方法解下列方程：

(1)x2－16＝0;  (2)3x2－27＝0；

(3)(x－2)2＝9;  (4)(2y－3)2＝16．

解析：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再根据平方根的定义求解．注意开方后，等式的右边取“正、负”两种情况．

解：(1)移项，得x2＝16．根据平方根的定义，得x＝±4，即x1＝4，x2＝－4；

(2)移项，得3x2＝27．两边同时除以3，得x2＝9．根据平方根的定义，得x＝±3，即x1＝3，x2＝－3；

(3)根据平方根的定义，得x－2＝±3，即x－2＝3或x－2＝－3，所以x1＝5，x2＝－1；

(4)根据平方根的定义，得2y－3＝±4，即2y－3＝4或2y－3＝－4，所以y1＝，y2＝－．

方法总结：直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，它的理论依据是平方根的定义，它的可解类型有如下几种：①x2＝a(a≥0)；②(x＋a)2＝b(b≥0)；③(ax＋b)2＝c(c≥0)；④(ax＋b)2＝(cx＋d)2(|a|≠|c|)．

探究点二：配方法

【类型一】配方

  用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为(　　)

A．(x＋2)2＝1  B．(x－2)2＝1

C．(x＋2)2＝9  D．(x－2)2＝9

解析：由于方程左边关于x的代数式的二次项系数为1，故在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可．因为x2－4x＝5，所以x2－4x＋4＝5＋4，所以(x－2)2＝9．故选D．

方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方程的左边只留下二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

【类型二】利用配方法解一元二次方程

  用配方法解方程：

（1）x2－4x＋1＝0；     （2）－2x2＋2x＋1＝0． 

解析：（1）二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程配成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解．

（2）先把方程二次项的系数化为1，再配方成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，最后开平方即可．

解：（1）移项，得x2－4x＝－1．配方，得x2－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2，即(x－2)2＝3．解得x－2＝±．∴x1＝2＋，x2＝2－；

（2）二次项系数化为1，得x2－x＝．配方，得x2﹣x＋＝＋，即（x﹣）2＝．

解得x﹣＝±．∴x1＝，x2＝．

方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的形式．

【类型三】用配方解决求值问题

  已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0，求的值．

解：原方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝0，∴(x＋2)2＝0，且(y－3)2＝0．∴x＝－2，且y＝3．∴原式＝＝－．

【类型四】用配方解决证明问题

  (1)用配方法证明2x2－4x＋7的值恒大于零；

(2)由第(1)题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式．

(1)证明：2x2－4x＋7＝2(x2－2x)＋7＝2(x2－2x＋1－1)＋7＝2(x－1)2－2＋7＝2(x－1)2＋5．∵2(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋5≥5，即2x2－4x＋7≥5．故2x2－4x＋7的值恒大于零．

（2）解：x2－2x＋3；2x2－2x＋5；3x2＋6x＋8等．

【类型五】  利用配方法解决一些简单的实际问题

  如图，一块矩形土地，长是48 m，宽是24 m，现要在它的中央划一块矩形草地，四周铺上花砖路，路面宽都相

解析：若设花砖路面宽为x m，则草地的长与宽分别为(48－2x) m及(24－2x) m，根据等量关系：矩形草地的面积＝×矩形土地的面积，即可列一元二次方程求解．

解：设花砖路面的宽为x m．根据题意，得(48－2x)(24－2x)＝×48×24．

整理，得x2－36x＝－128．

配方，得x2－36x＋(－18)2＝－128＋(－18)2，

即(x－18)2＝196．

两边开平方，得x－18＝±14．

即x－18＝14，或x－18＝－14．

所以x1＝32(不合题意，舍去)，x2＝4．

故花砖路面的宽为4 m．

方法总结：列一元二次方程解决实际问题时，一定要检验方程的根，这些根虽然满足所列的一元二次方程，但未必符合实际问题，因此，求出一元二次方程的解之后，要把不符合实际问题的解舍去．

三、板书设计

教学过程中，通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法，领会降次——转化的数学思想．强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程．因此需熟练掌握完全平方式的形式．培养学生从不同角度进行探究的习惯和能力，使学生在数学活动中形成实事求是的态度以及独立思考的习惯．等，草地面积占矩形土地面积的，求花砖路面的宽．