2021-2022学年广东省茂名市高州市高二（上）期末数学试卷（Word解析版）

这是一份2021-2022学年广东省茂名市高州市高二（上）期末数学试卷（Word解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前2021-2022学年广东省茂名市高州市高二（上）期末数学试卷  第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）已知全集，集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 已知为虚数单位，复数是纯虚数，则(    )A.  B.  C.  D. “”是“直线和直线垂直”的(    )A. 充分不必要的条件 B. 必要不充分的条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在单位：元，其中支出在单位：元的同学有人，其频率分布直方图如图所示，则的值为(    )
A.  B.  C.  D. 直线被圆所截得的弦长为(    )A.  B.  C.  D. 已知函数的部分图象如图所示，且经过点，则(    )A. 关于点对称
B. 关于直线对称
C. 为奇函数
D. 为偶函数如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如不计容器的厚度，则球的体积为(    )
 A.  B.  C.  D. 已知数列满足，则(    )A.  B.  C.  D.  二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）下列函数中，最小值为的有(    )A.  B.
C.  D. 已知双曲线：，则双曲线的(    )A. 焦点坐标为
B. 离心率为
C. 渐近线方程为和
D. 虚轴长为如图，在长方体中，，，是侧面的中心，是底面的中心，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则(    )
A. 是单位向量
B. 三棱锥外接球的表面积为
C. 直线与所成角的余弦值为
D. 平面在平面直角坐标系中，已知，，，若动点满足，则(    )A. 存在点，使得
B. 面积的最大值为
C. 对任意的点，都有
D. 有且仅有个点，使得的面积为第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）直线的倾斜角的大小为          ．在等比数列中，已知，，则______．已知点，，点在轴上，且，则点的坐标为______．某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了．在理想情况下，对折次数与纸的长边和厚度有关系：现有一张长边为，厚度为的矩形纸，根据以上信息，当对折完次时，的最小值为          ；该矩形纸最多能对折          次．参考数值：， 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
在等差数列中，，前项和．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ若数列是首项为，公比为的等比数列，求的前项和．本小题分
为庆祝中国共产党成立周年，某校举行了党史知识竞赛，在必答题环节，甲、乙两位选手分别从道选择题、道填空题中随机抽取道题作答，若甲每道题答对的概率为，乙每道题答对的概率为，且甲乙答对与否互不影响，各题的结果也互不影响．求：
甲至少抽到道填空题的概率；
甲答对的题数比乙多的概率．本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，满足．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ若，求的值．本小题分
如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．
求证：平面平面；
求二面角的正切值．
本小题分
已知函数在区间上有最大值和最小值．
求实数、的值；
设，若不等式，在上恒成立，求实数的取值范围．本小题分
已知椭圆：经过点，且．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点已知点，且，求此时的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：因为，，
则．
故选：．
由已知结合集合的补集及交接】集运算即可求解．
本题主要考查了集合的交及补集运算，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：是纯虚数，
则，
解得，
则．
故选：．
先对已知复数进行化简，然后结合纯虚数概念可求，再由复数的模长公式可求．
本题主要考查了复数的四则运算，复数的基本概念，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】【分析】
本题通过常用逻辑用语来考查两直线垂直的判定方法及充要关系，是基础题．
当时直线的斜率和直线的斜率都存在，只要看是否满足即可．
【解答】
解：当时直线的斜率是，直线的斜率是，
满足
时，直线和直线垂直，
是直线和直线垂直的充分不必要条件．
故选A．  4.【答案】 【解析】解：位于、的小矩形的面积分别为
，，
位于、的据的频率分别为、
可得位于的前组数的频率之和为
由此可得位于数据的频率之和为
支出在的同学有人，即位于的频数为，
根据频率计算公式，可得，解之得
故选：．
根据小矩形的面积之和，算出位于的组数的频率之和为，从而得到位于的数据的频率之和为，再由频率计算公式即可算出样本容量的值．
本题给出频率分布直方图，在已知某小组的频率情况下求该数据中的样本容量的值，着重考查了频率分布直方图的理解和频率计算公式等知识，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：由圆的方程可知圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
故直线被圆所截得的弦长为．
故选：．
根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解．
本题主要考查直线与圆相交的性质，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：函数的部分图象，可令，
它的经过点，，，
故
令，求得，不是最值，故A、都错误；
由于，故不是奇函数，故C错误；
由于，故是偶函数，故D正确，
故选：．
由定点的坐标求出的值，可得函数的解析式，再利用函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由定点的坐标求出的值，函数的图象和性质，属于中档题．
 7.【答案】 【解析】【分析】
本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．
设正方体上底面所在平面截球得小圆，可得圆心为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为，根据题意得球心到上底面的距离等于，而圆的半径为，由球的截面圆性质建立关于的方程并解出，用球的体积公式即可算出该球的体积．
【解析】
解：设正方体上底面所在平面截球得小圆，
则圆心为正方体上底面正方形的中心．如图．
设球的半径为，根据题意得球心到上底面的距离等于，
而圆的半径为，由球的截面圆性质，得，
解出，
根据球的体积公式，该球的体积．
故选：．
  8.【答案】 【解析】解：由，
可得．
故选：．
首先计算，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查数列的求和：裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
 9.【答案】 【解析】解：当时，显然不成立；
，当且仅当时取等号，符合题意；
，符合题意；
，不符合题意．
故选：．
由已知结合基本不等式及成立条件检验，，结合二次函数性质检验，结合指数函数性质检验．
本题主要考查了基本不等式，二次函数及指数函数在最值求解中的应用，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：双曲线：即，
可得，，，，
渐近线方程为和，
焦点坐标为，，虚轴长为，
故选：．
将双曲线的方程化为标准方程，求得，，，，可得双曲线的渐近线方程和虚轴长、焦点坐标，可得结论．
本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：对于选项A，由图可知：，，则，即是单位向量，即选项A正确；
对于选项B，三棱锥外接球即长方体的外接球，设外接球的半径为，则，则三棱锥外接球的表面积为，即选项B正确；
对于选项C，，，设与所成角为，则，则直线与所成角的余弦值为，即选项C错误；
对于选项D，，，则，即，又不在平面内，平面，即平面，即选项D正确，
故选：．
由空间几何体的外接球的表面积的求法，结合异面直线所成角的求法及线面平行的判定定理逐一判断即可得解．
本题考查了空间几何体的外接球的表面积问题，重点考查了异面直线所成角的求法及线面平行的判定定理，属中档题．
 12.【答案】 【解析】解：动点满足，
由椭圆的定义可知点的轨迹是以，为焦点，
长轴长为的椭圆．
动点的方程为，
存在点，使得，所以A正确；
面积的最大值为：，所以B正确；
对任意的点，都有的最小值为：，所以不正确；
的方程为：，与平行的直线方程为：，
联立，可得，
解得，时，与之间的距离为：，
此时的面积为：，时，直线方程，
平行线之间的距离为：，此时的面积为：，
所以有且仅有个点，使得的面积为，所以D正确；
故选：．
利用椭圆的定义可知点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆．写出椭圆方程，求解，判断；求解面积的最大值，判断；求解的最小值判断；求出的方程，求解平行线与椭圆相切的方程，然后求解平行线之间的即可，求解三角形的面积，判断．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题．
 13.【答案】 【解析】【分析】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．
化直线的一般式方程为斜截式，求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于斜率求倾斜角．【解答】解：由，得
，
直线的斜率为，
设其倾斜角为，
则，
．
故答案为：．  14.【答案】 【解析】解：设等比数列的公比为，
，则，
所以．
故答案为：．
根据已知条件，结合等比数列的性质，求出，即可求解．
本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：点在轴上，设，
点、，且，
，
解得．
点的坐标是．
故答案为：．
设，由点、，且，利用两点间距离公式能求出点的坐标．
本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．
 16.【答案】 【解析】解：，
当对折完次时，，即，
，
的最小值为，
，
矩形纸最多能对折次．
故答案为：，．
根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．
 17.【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为，
由，前项和，
可得，，
即，，
解得，，
则；
Ⅱ若数列是首项为，公比为的等比数列，
则，
又，可得，
所以的前项和为． 【解析】Ⅰ由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求；
Ⅱ由等比数列的通项公式可得，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
 18.【答案】解：记道选择题的题号为，，，道填空题的题号为，，
则试验的样本空间，，，，，，，，，，
共有个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型，
记事件“甲至少抽到道填空题”，
则，，，，，，，
所以，
故，
因此甲至少抽到道填空题的概率为；
设事件，分别表示甲答对道题，道题，事件，分别表示乙答对道题，道题，
则，
，
，
，
记事件“甲答对的题数比乙多”，
则，且，，两两互斥，与，与，与分别相互独立，
所以

，
故甲答对的题数比乙多的概率为． 【解析】求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可；
设事件，分别表示甲答对道题，道题，事件，分别表示乙答对道题，道题，分别求出事件，，，的概率，然后由相互独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率加法公式求解即可．
本题考查了古典概型概率公式的应用，相互独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式的应用，互斥事件的概率加法公式的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
 19.【答案】解：Ⅰ，
，即，
，
，
．
Ⅱ由，可得，
，，
． 【解析】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，二倍角公式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
Ⅰ先利用正弦定理可得，再利用余弦定理可得，结合的范围即可求得的值；
Ⅱ利用同角三角函数基本关系式可得，利用二倍角公式可求，的值，进而根据两角差的正弦函数公式即可计算得解．
 20.【答案】证明：为正方形，
，
又正方形与梯形所在的平面互相垂直，且平面，
平面，
平面，
，
在直角梯形中， ， ，
则， ，
在中，，
，
，与平面，
平面，
又平面，
平面平面；
解：由知平面，
平面，，
，，三线两两垂直，故以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，
则，
设为平面的法向量，
则，取，
取平面的法向量为，设二面角的大小为，
则，． 【解析】证明平面，然后利用面面垂直的判断定理即可证得题中的结论；
以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，利用法向量的求二面角的余弦，再求正切
本题主要考查面面垂直的判断定理，二面角的计算，空间向量及其应用，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
 21.【答案】解：因为的对称轴是，
又，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，取最小值，当时，取最大值，
即，解得；
由知：，
所以，，
又，所以，
令，则在上是增函数．
所以，，
要使，在上恒成立，只需，
因此，实数的取值范围为． 【解析】分析函数在区间上的单调性，结合已知条件可得出关于实数，的方程组，即可解得实数、的值；
由可得，利用参变量分离法可得出，利用单调性求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围．
本题考查了二次函数的性质、转化思想、利用导数求函数的最值，属于中档题．
 22.【答案】解：Ⅰ由已知得，，，
椭圆的方程为．
Ⅱ设，设直线方程为，
代入得，
化简得，
由，
得，，
方程的解为，，
则，
设，则，则，
所以在轴存在使．，
，
，，
，所以． 【解析】Ⅰ由椭圆过点，且，列方程组，解得，，即可得出答案．
Ⅱ设，设直线方程为，联立椭圆的方程，由，得，解得点坐标，设，则，则，若在轴存在使，则，解得答案．
本题考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．