湖北省孝感市孝南区10校联考2021-2022学年九年级上学期作业检测数学试卷 (word版含答案)

这是一份湖北省孝感市孝南区10校联考2021-2022学年九年级上学期作业检测数学试卷 (word版含答案)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湖北省孝感市孝南区10校联考2021-2022学年九年级上学期作业检测数学试卷（解析版）
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．将一元二次方程3x2﹣5＝4x化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．﹣3，4 B．3，﹣4 C．﹣3，﹣4 D．3，4
2．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
4．如图，把△ABC绕B点逆时针方向旋转26°得到△A′BC′，若A′C′正好经过A点，则∠BAC＝（　　）

A．52° B．64° C．77° D．82°
5．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（　　）

A．① B．② C．③ D．均不可能
6．点P到⊙O的最近点的距离为2cm，最远点的距离为7cm，则⊙O的半径是（　　）
A．5cm或9cm B．2.5cm
C．4.5cm D．2.5cm或4.5cm
7．为迎接“双十一”促销活动，某服装店从10月份开始对秋装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价500元的秋装，优惠后实际仅需320元．设该店秋装原本打x折，则有（　　）
A．500（1﹣2x）＝320 B．500（1﹣x）2＝320
C．500（）2＝320 D．500（1）2＝320
8．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD＝2，则⊙O的半径为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．点A（5，m）和点B（n，﹣3）关于原点对称，则m+n＝　 　．
10．关于x的方程（1﹣m）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则整数m的最大值是 　 　．
11．如图，把△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，BC与DE交于F，连CE，若∠BFD＝20°，则∠ACE＝　 　度．

12．当关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”．如果关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0是“倍根方程”，那么m的值为　 　．
13．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是　 　．

14．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式为y＝60t﹣t2，飞机着陆至停下来期间的最后10s共滑行 　 　m．
15．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是　 　°．

16．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4．⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为　 　．

三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣5x+2＝0；
（2）x2﹣1＝2（x+1）．
18．（8分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．
（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为 　 　；
（3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q，则Q的坐标为 　 　．（用含m，n的式子表示）

19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．
20．（8分）如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH．
（1）求∠FAB的度数；
（2）求证：OG＝OH．

21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝6，CD＝8，求BD的长．

22．（10分）商场购进一批儿童智力玩具，调查发现：该玩具的月销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，下表是销售单价与月销售量、月销售利润的对应值分别如下：
月销售单价x（元/个）
30
35
40
45
月销售量y（个）
230
180
130
m
月销售利润w（元）
2300
2700
2600
2000
（1）直接写出y与x的函数关系式　 　；
（2）根据以上信息填空：
①m＝　 　；该商场购进玩具单价　 　元/个；
②求w与x的函数关系式，并求出当销售单价x定为多少时，月销售利润最大？
（3）由于生产玩具成本增加，商场购进玩具单价提高n元/个（0＜n≤7，n为整数），商场规定每件玩具售价不能低于40元/个，该商场在今后的销售中，月销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若月销售最大利润是2340元，则n的值是　 　．
23．（10分）如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．
（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系：　 　；
（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），
①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
②当AC＝ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．

24．（12分）如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．


参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．将一元二次方程3x2﹣5＝4x化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．﹣3，4 B．3，﹣4 C．﹣3，﹣4 D．3，4
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【解答】解：化为一般式，得
3x2﹣4x﹣5＝0，
二次项系数和一次项系数分别是3，﹣4，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了对中心对称图形的定义，能熟知中心对称图形的定义是解此题的关键．
3．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．
【解答】解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
4．如图，把△ABC绕B点逆时针方向旋转26°得到△A′BC′，若A′C′正好经过A点，则∠BAC＝（　　）

A．52° B．64° C．77° D．82°
【分析】根据旋转的性质，易得∠ABA′＝∠CBC′＝∠CAC′＝26°且AB＝A′B，进而可得∠A′AB＝77°，代入数据计算可得∠BAC的大小．
【解答】解：根据题意：∵△ABC绕B点逆时针方旋转26°得到△A′BC′，且A′C′正好经过A点，
∴∠ABA′＝∠CBC′＝∠CAC′＝26°，AB＝A′B，
∴∠A′AB＝77°，∠BAC＝180﹣26﹣77＝77°．
故选：C．
【点评】本题考查旋转两相等的性质，即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．
5．小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（　　）

A．① B．② C．③ D．均不可能
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
6．点P到⊙O的最近点的距离为2cm，最远点的距离为7cm，则⊙O的半径是（　　）
A．5cm或9cm B．2.5cm
C．4.5cm D．2.5cm或4.5cm
【分析】根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径，此题点的位置不确定所以要分类讨论．
【解答】解：①当点在圆外时，
∵圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为7，
∴圆的直径为7﹣2＝5，
∴该圆的半径是2.5；
②当点在圆内时，
∵点到圆周的最短距离为2，最长距离为7，
∴圆的直径＝7+2＝9，
∴圆的半径为4.5，
故选：D．
【点评】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键．
7．为迎接“双十一”促销活动，某服装店从10月份开始对秋装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价500元的秋装，优惠后实际仅需320元．设该店秋装原本打x折，则有（　　）
A．500（1﹣2x）＝320 B．500（1﹣x）2＝320
C．500（）2＝320 D．500（1）2＝320
【分析】设该店秋装原本打x折，根据原价及经过两次打折后的价格，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设该店春装原本打x折，
依题意，得：500•（）2＝320．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD＝2，则⊙O的半径为（　　）

A． B． C． D．
【分析】作半径OE⊥AB，连接DE，作BF⊥DE于F，如图，利用等角的余角相等得到∠DOE＝∠AOC，则DE＝AC＝2，利用三角形内角和可计算出∠BDE＝135°，所以∠BDF＝45°，从而可计算出DF＝BF＝2，利用勾股定理计算出BE＝2，然后根据△BOE为等腰直角三角形可得到OB的长．
【解答】解：作半径OE⊥AB，连接DE，作BF⊥DE于F，连接BE，如图，

∵∠DOC＝90°，∠AOE＝90°，
∴∠DOE＝∠AOC，
∴DE＝AC＝2，
∵∠BDE＝180°﹣×90°＝135°，
∴∠BDF＝45°，
∴DF＝BF＝BD＝×2＝2，
∴EF＝DE+DF＝4，
在Rt△BEF中，BE＝＝2，
∵△BOE为等腰直角三角形，
∴OB＝×2＝．
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．点A（5，m）和点B（n，﹣3）关于原点对称，则m+n＝　﹣2　．
【分析】平面内关于原点对称的点的坐标特点为：横坐标、纵坐标都互为相反数，由此可求解．
【解答】解：∵点A（5，m）和点B（n，﹣3）关于原点对称，
∴m＝3，n＝﹣5，
∴m+n＝3+（﹣5）＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．
10．关于x的方程（1﹣m）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则整数m的最大值是 　0　．
【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，取其中的最大整数值即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程（1﹣m）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＜2且m≠1，
又∵m为整数，
∴m的最大值为0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
11．如图，把△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，BC与DE交于F，连CE，若∠BFD＝20°，则∠ACE＝　80　度．

【分析】由旋转的性质可得∠ACB＝∠AED，AC＝AE，由外角的性质可得∠CAE＝∠EFC＝∠BFD＝20°，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：如图，设AC与DE交点为O，

∵△ABC绕点A旋转一定角度得到△ADE，
∴∠ACB＝∠AED，AC＝AE，
∵∠COE＝∠CAE+∠AED＝∠ACB+∠EFC，
∴∠CAE＝∠EFC＝∠BFD＝20°，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC＝80°，
故答案为：80．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
12．当关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”．如果关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0是“倍根方程”，那么m的值为　﹣4或﹣1　．
【分析】利用十字相乘法求出方程的根，根据题意转化为方程即可解决问题；
【解答】解：∵x2+（m﹣2）x﹣2m＝0，
∴（x+m）（x﹣2）＝0，
∴x1＝﹣m，x2＝2，
由题意﹣m＝2×2或2＝2（﹣m），
∴m＝﹣4或﹣1，
故答案为﹣4或﹣1．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是学会因式分解法解方程，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
13．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是　（9，2）　．

【分析】设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，证明四边形PEOF为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、DB，便可得D点坐标．
【解答】解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，

则PE⊥y轴，PF⊥x轴，
∵∠EOF＝90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∵PE＝PF，PE∥OF，
∴四边形PEOF为正方形，
∴OE＝PF＝PE＝OF＝5，
∵A（0，8），
∴OA＝8，
∴AE＝8﹣5＝3，
∵四边形OACB为矩形，
∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB，∠EAC＝∠EOB＝90°，
∴EG∥AC，
∴四边形AEGC为矩形，四边形OEGB为矩形，
∴CG＝AE＝3，EG＝OB，
∵PE⊥AO，AO∥CB，
∴PG⊥CD，
∴CD＝2CG＝6，
∴DB＝BC﹣CD＝8﹣6＝2，
∵PD＝5，DG＝CG＝3，
∴PG＝4，
∴OB＝EG＝5+4＝9，
∴D（9，2）．
故答案为：（9，2）．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质及正方形的性质．
14．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式为y＝60t﹣t2，飞机着陆至停下来期间的最后10s共滑行 　120　m．
【分析】将抛物线解析式化为顶点式，求出飞机滑行时间和距离，然后将t＝25﹣10代入解析式求出对应y，然后作差求解．
【解答】解：∵y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣25）2+750，
∴当t＝25时，飞机停下来并滑行750m，
把t＝25﹣10＝15代入y＝60t﹣t2得y＝60×15﹣×152＝630，
∴750﹣630＝120（m）．
故答案为：120．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题关键是将抛物线化为顶点式，理解函数解析式与实际问题的对应关系．
15．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是　54　°．

【分析】正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵AF是⊙O的直径，
∴＝，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴＝，∠BAE＝108°，
∴＝，
∴∠BAF＝∠BAE＝54°，
∴∠BDF＝∠BAF＝54°，
故答案为：54．
【点评】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4．⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为　2　．

【分析】首先连接OQ，根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．
【解答】解：连接OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∵OQ为定值，
∴当OP的值最小时，PQ的值最小，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，
∴AB＝OA＝8，
∴OP＝＝4，
∴PQ＝＝2．
故答案为2．

【点评】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣5x+2＝0；
（2）x2﹣1＝2（x+1）．
【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；
（2）方程利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（1）这里a＝1，b＝﹣5，c＝2，
∵b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×2＝25﹣8＝17，
∴x＝，
解得：x1＝，x2＝；
（2）方程变形得：（x+1）（x﹣1）﹣2（x+1）＝0，
分解因式得：（x+1）（x﹣1﹣2）＝0，
所以，x+1＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法及因式分解法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
18．（8分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．
（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为 　（﹣3，1）　；
（3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q，则Q的坐标为 　（﹣n，m）　．（用含m，n的式子表示）

【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到点C2的坐标；
（3）利用（2）中对应点的规律写出Q的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点C2的坐标为（﹣3，1）；

（3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q，则Q的坐标为（﹣n，m）．
故答案为（﹣3，1），（﹣n，m）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，得到Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，于是得到结论；
（2）根据x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，代入x12+x22﹣x1x2＝16，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，
解得：a＜3，
∵a为正整数，
∴a＝1，2；
（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，
∵x12+x22﹣x1x2＝16，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，
∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，
解得：a1＝﹣1，a2＝6，
∵a＜3，
∴a＝﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程是解答此题的关键．
20．（8分）如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG＝BH．
（1）求∠FAB的度数；
（2）求证：OG＝OH．

【分析】（1）根据多边形的内角和定理、正多边形的性质计算；
（2）证明△AOG≌△BOH，根据全等三角形的性质证明结论．
【解答】（1）解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB＝＝120°；
（2）证明：连接OA、OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠FAB＝∠CBA，
∴∠OAG＝∠OBH，
在△AOG和△BOH中，
，
∴△AOG≌△BOH（SAS）
∴OG＝OH．

【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的内角的计算公式、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝6，CD＝8，求BD的长．

【分析】（1）连接OD．想办法证明OD⊥DE即可．
（2）解法一：过点A作AF⊥BD于点F，则∠AFB＝∠AFD＝90°，想办法求出BF，DF即可．
解法二：过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H．证明△BDH是等腰直角三角形，求出DH即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∵∠EDA＝∠ACD，
∴∠ADO+∠ODC＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴直线DE是⊙O的切线．

（2）解法一：过点A作AF⊥BD于点F，则∠AFB＝∠AFD＝90°，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵在Rt△ACD中，AD＝6，CD＝8，
∴AC2＝AD2+CD2＝62+82＝100，
∴AC＝10，
∵在Rt△ABC中，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵，
∴，
∵∠ADB＝∠ACB＝45°，
∵在Rt△ADF中，AD＝6，
∵，
∴，
∴，
在Rt△ABF中，，
∴，
∴．

解法二：过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H．
∴∠DBH＝90°，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABD＝90°﹣∠DBC，∠CBH＝90°﹣∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBH，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠BCH＝180°，
∴∠BAD＝∠BCH，
∵AB＝CB，
∴△ABD≌△CBH（ASA），
∴AD＝CH，BD＝BH，
∵AD＝6，CD＝8，
∴DH＝CD+CH＝14，
在Rt△BDH中，∵BD2＝DH2﹣BH2，BD＝BH，则BD2＝98．
∴．
解法三：如图，设AC交DB于M．

由△ADM∽△BDC，推出AD•BC＝BD•AM，
由△DCM∽△DBA，推出AB•CD＝BD•MC，
∴AD•BC+AB•CD＝BD•（AM+MC）＝BD•AC，
由此可得BD＝7．

【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（10分）商场购进一批儿童智力玩具，调查发现：该玩具的月销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，下表是销售单价与月销售量、月销售利润的对应值分别如下：
月销售单价x（元/个）
30
35
40
45
月销售量y（个）
230
180
130
m
月销售利润w（元）
2300
2700
2600
2000
（1）直接写出y与x的函数关系式　y＝﹣10x+530　；
（2）根据以上信息填空：
①m＝　80　；该商场购进玩具单价　20　元/个；
②求w与x的函数关系式，并求出当销售单价x定为多少时，月销售利润最大？
（3）由于生产玩具成本增加，商场购进玩具单价提高n元/个（0＜n≤7，n为整数），商场规定每件玩具售价不能低于40元/个，该商场在今后的销售中，月销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若月销售最大利润是2340元，则n的值是　2　．
【分析】（1）根据待定系数可求得y与x的函数关系式；
（2）①直接将x＝45代入可得m的值；
根据一个玩具的利润＝月销售利润÷月销售量，根据对应售价可得进价；
②根据月销售利润＝一个玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式，配方可得最大利润；
（3）根据利润列等式：2340＝（﹣10x+530）（x﹣20﹣n）＝﹣10（x﹣53）（x﹣20﹣n），可得对称轴为x＝＝，由0＜n≤7，n为整数，确定对称轴在至40之间，根据二次函数的增减性可得在对称轴的右侧，w随x的增大而减小，所以函数在x＝40处取得最大值，将x＝40代入函数表达式可得n的值．
【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0），
由题意得：，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣10x+530；
故答案为：y＝﹣10x+530；
（2）①当x＝45时，m＝﹣45×10+530＝80，
该商场购进玩具单价为：30﹣（2300÷230）＝20（元），
故答案为：80；20．
②由题意得：
w＝（x﹣20）•y，
＝（x﹣20）（﹣10x+530），
＝﹣10x2+730x﹣10600，
＝﹣10（x﹣36.5）2+2722.5，
∵﹣10＜0，
∴当x＝36.5时，y有最大值2722.5，
∴w与x的函数关系式为w＝﹣10x2+730x﹣10600，
当销售单价x定为36.5元时，月销售利润最大，最大利润是2722.5元．
（3）由题意得：2340＝（﹣10x+530）（x﹣20﹣n）＝﹣10（x﹣53）（x﹣20﹣n），
函数的对称轴为：x＝＝，
∵0＜n≤7，n为整数，
∴20+n＜53，且20＜20+n≤27，
∴≤40，
∵﹣10＜0，
∴在对称轴的右侧，w随x的增大而减小，
∵x≥40，
则函数在x＝40处取得最大值，将x＝40代入函数表达式得：
2340＝（﹣10x+530）（x﹣20﹣n），解得：n＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．
23．（10分）如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．
（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系：　BE＝CD且BE⊥CD　；
（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），
①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
②当AC＝ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得AB＝AC，AE＝AD，再根据等量关系可得线段BE与线段CD的关系；
（2）①根据等腰直角三角形的性质可得AB＝AC，AE＝AD，根据旋转的性质可得∠BAE＝∠CAD，根据SAS可证△BAE≌△CAD，根据全等三角形的性质即可求解；
②根据平行四边形的性质可得∠ABC＝∠ADC＝45°，再根据等腰直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴AB＝AC，AE＝AD，
∴AE﹣AB＝AD﹣AC，
∴BE＝CD且BE⊥CD；

（2）①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴AB＝AC，AE＝AD，
由旋转的性质可得∠BAE＝∠CAD，
在△BAE与△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS）
∴BE＝CD，
由角的和差可得BE⊥CD，
故（1）中的结论成立；

②∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ADC＝45°，
∵AC＝ED，
∴AC＝CD，
∴∠CAD＝45°
或360°﹣90°﹣45°＝225°，或360°﹣45°＝315°
∴角α的度数是45°或225°或315°．
故答案为：BE＝CD且BE⊥CD．
【点评】考查了几何变换综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的性质，等量代换，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，综合性较强，难度中等．
24．（12分）如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．

【分析】（1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程组即可；
（2）求出点B的坐标，再根据勾股定理得到BC，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP＝CB；②BP＝BC；③PB＝PC；
（3）设AM＝t则DN＝2t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，S△MNB＝×（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t，运用二次函数的顶点坐标解决问题；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，

解得：b＝﹣4，c＝3，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得：x＝1或x＝3，
∴B（3，0），
∴BC＝3，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP＝CB时，PC＝3，∴OP＝OC+PC＝3+3或OP＝PC﹣OC＝3﹣3
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②当BP＝BC时，OP＝OC＝3，
∴P3（0，﹣3）；
③当PB＝PC时，
∵OC＝OB＝3
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）；
（3）如图2，设M运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t，
∴S△MNB＝×（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1，
即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1．


【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．