2022年山东省济南市中考数学试卷（Word解析版）

2022年山东省济南市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是(    )

A. 圆柱 B. 球 C. 圆锥 D. 正四棱柱

3. 神舟十三号飞船在近地点高度，远地点高度的轨道上驻留了个月后，于年月日顺利返回．将数字用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，，点在上，平分，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 某班级计划举办手抄报展览，确定了“时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 若，则代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为如图所示，设矩形一边长为，另一边长为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是(    )

A. 正比例函数关系 B. 一次函数关系 C. 反比例函数关系 D. 二次函数关系

10. 如图，矩形中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线分别交，于点，，连接，若，，以下结论错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 数学活动小组到某广场测量标志性建筑的高度．如图，他们在地面上点测得最高点的仰角为，再向前至点，又测得最高点的仰角为，点，，在同一直线上，则该建筑物的高度约为(    )
    精确到参考数据：，，，

A.  B.  C.  D.

12. 抛物线与轴交于点，过点作直线垂直于轴，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，组成图形，点，为图形上两点，若，则的取值范围是(    )

A. 或 B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 因式分解：______．
14. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______．

15. 写出一个比大且比小的整数______．
16. 代数式与代数式的值相等，则______．
17. 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是______．

18. 规定：在平面直角坐标系中，一个点作“”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“”变换表示将它绕原点顺时针旋转，由数字和组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“”作变换，表示点先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转得到，再将绕原点顺时针旋转得到依次类推．点经过“”变换后得到点的坐标为______．

三、解答题（本大题共9小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 计算：．
20. 解不等式组：，并写出它的所有整数解．
21. 已知：如图，在菱形中，，是对角线上两点，连接，，求证：．

22. 某校举办以年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
    ：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．
    数据分成组，，，，，
    
    ：七年级抽取成绩在这一组的是：
    ，，，，，，，，
    ，，，，，，，．
    ：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：

请结合以上信息完成下列问题：
七年级抽取成绩在的人数是______，并补全频数分布直方图；
表中的值为______；
七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是，则______填“甲”或“乙”的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
七年级的学生共有人，请你估计七年级竞赛成绩分及以上的学生人数．

23. 已知：如图，为的直径，与相切于点，交延长线于点，连接，，，平分交于点，过点作，垂足为．
    求证：；
    若，求线段的长．

24. 为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买棵甲种树苗和棵乙种树苗共花费元，购买棵甲种树苗比棵乙种树苗多花费元．
    求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？
    若购买甲、乙两种树苗共棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的倍．则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．
25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
    求，的值；
    直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．
    求的面积；
    点在反比例函数的图象上，点在轴上，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点坐标．
     

26. 如图，是等边三角形，点在的内部，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接，，．
    判断线段与的数量关系并给出证明；
    延长交直线于点．
    如图，当点与点重合时，直接用等式表示线段，和的数量关系为______；
    如图，当点为线段中点，且时，猜想的度数并说明理由．
     

27. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过点点在抛物线上，设点的横坐标为．
    求抛物线的表达式和，的值；
    如图，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点的坐标；
    如图，若点在直线上方的抛物线上，过点作，垂足为，求的最大值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数为，
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．
本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：该几何体的主视图、左视图都是长方形，而俯视图是圆形，因此这个几何体是圆柱，
故选：．
根据简单几何体的三视图的特征进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法即可得出答案．
本题考查了科学记数法表示较大的数，掌握的指数比原来的整数位数少是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
．
平分，
．
．
故选：．
根据平行线的性质，由，得根据角平分线的定义，得平分，那么，进而求得．
本题主要考查平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B.既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
 

6.【答案】 

【解析】解：选项，，，
，故该选项不符合题意；
选项，，，，
，故该选项不符合题意；
选项，，故该选项不符合题意；
选项，，
，故该选项符合题意；
故选：．
根据有理数的乘法法则判断选项；根据有理数的加法法则判断选项；根据绝对值的定义判断选项；根据不等式的基本性质判断选项．
本题考查了实数与数轴，掌握数轴上，右边的数总比左边的大是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：把“时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有种，
小明和小亮恰好选择同一个主题的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中小明和小亮恰好选择同一个主题的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

8.【答案】 

【解析】解：原式
．
当时．原式．
故选：．
根据分式的乘除运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
所以与是一次函数关系，
故选：．
根据题意列出与的关系式可得答案．
此题考查了一次函数的应用等知识，理清题中的数量关系并熟练掌握一次函数的解析式形式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
根据作图过程可知：
是的垂直平分线，
，故A选项正确，不符合题意；
，
，故B选项正确，不符合题意；
是的垂直平分线，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，

在中，根据勾股定理，得
，故C选项正确，不符合题意；
，
，故D选项错误，符合题意，
故选：．
根据作图过程可得，是的垂直平分线，再由矩形的性质可以证明≌，可得，再根据勾股定理可得的长，进而可以解决问题．
本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
，
解得：，
答：该建筑物的高度约为．
故选：．
根据题意得到，然后根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是借助仰角关系结合图形利用三角函数解直角三角形．
 

12.【答案】 

【解析】解：在中，令，得，
令，得，
和是关于抛物线对称轴对称的两点，
若，即和在轴右侧包括在轴上，
则点经过翻折得，点经过翻折的，
如图：

由对称性可知，，
此时不满足；
当，即和在轴左侧包括在轴上，
则点即为，点即为，
，
此时不满足；
当，即在轴左侧，在轴右侧时，如图：

此时，翻折后得，满足；
由得：，
故选：．
通过计算可知，，为抛物线上关于对称轴对称的两点，根据轴与，的相对位置分三种情形：若，即和在轴右侧包括在轴上，当，即和在轴左侧包括在轴上，当，即在轴左侧，在轴右侧时，分别讨论求解即可．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，正确作出图形是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
利用完全平方公式进行分解即可．
此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：．
 

14.【答案】 

【解析】解：总面积为个小正方形的面积，其中阴影部分面积为个小正方形的面积，
小球停在阴影部分的概率是，
故答案为：．
根据几何概率的求法：小球落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

15.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，
写出一个比大且比小的整数如答案不唯一；
故答案为：答案不唯一．
先对和进行估算，再根据题意即可得出答案．
此题考查了估算无理数的大小，估算出是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意得，
，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
解得，
经检验是原方程的解，
所以原方程的解为，
故答案为：．
根据题意列方程，再根据解分式方程的步骤和方法进行计算即可．
本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤和方法是正确解答的前提，注意解分式方程要检验．
 

17.【答案】 

【解析】解：设小正方形的边长为，
，，
，
在中，，
即，
整理得，，
而长方形面积为
该矩形的面积为，
故答案为：．
欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为，在直角三角形中，利用勾股定理可建立关于的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该矩形的面积．
本题考查了勾股定理以及运用和一元二次方程的运用，解题的关键是构建方程解决问题．
 

18.【答案】 

【解析】解：点经过变换得到点，点经过变换得到点，点经过变换得到点，

故答案为：．
根据变换的定义解决问题即可．
本题考查规律型：点的坐标，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，算术平方根定义，以及负整数指数幂法则计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
整数解为，． 

【解析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，写出整数解即可．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】利用菱形的性质可得，进而可得，，利用证明≌可证明结论．
本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

22.【答案】    甲 

【解析】解：成绩在的人数为，

故答案为：；
第，名学生的成绩分别为，，所以，
故答案为：；
大于七年级的中位数，而小于八年级的中位数．
甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
故答案为：甲；
人，
即估计七年级竞赛成绩分及以上的学生人数为．
根据各组人数求出的人数，并补全频数分布直方图；
根据中位数的定义求解即可；
根据该学生的成绩大于七年级的中位数，而小于八年级的中位数，即可判断；
用样本估计总体的思想解决问题．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
 

23.【答案】证明：连接，

与相切于点，
，
，
，
，
，
；
解：为的直径，
，
，，
，
平分，
，
，
，
，
线段的长为． 

【解析】连接，利用切线的性质可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用圆周角定理可得，最后根据等角对等边，即可解答；
根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用的结论可得，再利用角平分线的定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：设甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元，
根据题意得：，
解得，
答：甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元；
设购买两种树苗共花费元，购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，
购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的倍，
，
解得，
根据题意：，
，
随的增大而增大，
时，取最小值，最小值为元，
此时，
答：购买甲种树苗棵，乙种树苗棵，花费最少． 

【解析】设甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元，可得：，即可解得甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元；
设购买两种树苗共花费元，购买甲种树苗棵，根据购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的倍，得，而，由一次函数性质可得购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，花费最少．
本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
 

25.【答案】解：把，代入得，
，
，
把，代入得，
，
；
点，点的纵坐标是，，
点的纵坐标是，
把代入得，
，
如图，

作轴于，交于，
当时，，
，
，
，
；
如图，

当是对角线时，即：四边形是平行四边形，
，，点的纵坐标为，
，
当时，，
，
，
当为边时，即：四边形是平行四边形图中的▱，
由得，
，
，
当时，，
，
综上所述：或． 

【解析】将点的坐标代入求得，再把点坐标代入求出；
先求出，，三点坐标，作轴于，交于，求出点坐标，从而求得的长，进而求得三角形的面积；
当为对角线时，先求出点的纵坐标，进而代入反比例函数的解析式求得横坐标；当为边时，同样先求出点的纵坐标，再代入求得点的横坐标．
本题主要考查了求二次函数的解析式，结合一次函数的解析式求点的坐标，结合平行四边形的性质求点的坐标等知识，解决问题的关键是画出图形，全面分类．
 

26.【答案】 

【解析】解：，理由如下：
是等边三角形，
，，
是由绕点逆时针旋转得到的，
，，
，
，
即：，
在和中，
，
≌，

由得：，，，
是等边三角形，
，
，
故答案为：；
如图，

，理由如下：
连接，作于，
，
是的中点，是等边三角形，是等边三角形，
，，
，
∽，
，，
，
，
∽，
，
由得：，
，
，
．
证明≌；
；
连接，作于，先证明∽，从而，，进而，再证明∽．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和想，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是利用二次相似：第一对相似三角形为第二对相似三角形提供两个条件．
 

27.【答案】解：将代入，
，
，
，
当时，，
解得或舍，
，
在直线上，
，
解得，
；
作轴交于，
点横坐标为，
，
，，
在和中，
，，
，
∽，
，即，
，
解得舍或，
；  
作轴交于于，过点作轴交于，
，
由∽，
，
，，，
，，
由∽，
，
，
，
当时，的最大值是． 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可求解；
作轴交于，可求，，通过证明∽，利用，求的值即可求点坐标；
作轴交于于，过点作轴交于，通过证明∽，求出，，再由∽，求出，则，即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．